De limiet van 1/n

Limieten van rijen: Introductie

De limiet van 1/n

De intuïtieve betekenis van $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ is dat de getallen $a_n$ steeds meer op $L$ lijken als $n$ heel groot wordt. De precieze wiskundige definitie is als volgt:

De limiet van een rij $\displaystyle (a_n)_{n=1}^\infty$ is $L$ als voor alle $\epsilon>0$ er een $N$ is zodat voor alle $n>N$ geldt dat $|a_n - L|<\epsilon$ .

De $\epsilon$ in de definitie kun je opvatten als een foutmarge. Als de foutmarge vastligt bestaat er volgens deze definitie een geheel getal $N$ zodat voor alle $n>N$ geldt dat $a_n$ maximaal $\epsilon$ verschilt van $L$ . Er staat dus eigenlijk dat voor elke foutmarge die je kiest, de elementen $a_n$ van de rij op den duur minder dan die foutmarge verschillen van de limiet $L$ .

In de opgave heb je gezien dat de limiet van de rij

$1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5},\dots$ het getal $0$ is. In deze animatie kun je zien hoe snel deze rij naar 0 daalt.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ .

Stel dat $\epsilon > 0$ gegeven is. We zoeken nu een $N$ zodat voor alle $n>N$ het verschil tussen $\frac{ 1}{n}$ en 0 kleiner is dan $\epsilon$ . Kies $N = \lceil\tfrac{1}{\epsilon}\rceil$ , dit betekent dat we de breuk $\tfrac{1}{\epsilon}$ naar boven afronden. Voor $n>N$ geldt nu inderdaad dat $\frac{1}{n} < \frac{1}{N}<\epsilon$ en hieruit volgt dat $|a_n - 0| < \epsilon$ voor alle $n > N$ . Dit laat zien dat $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ .

Vanaf nu mag je de limiet $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ altijd gebruiken zonder dit opnieuw te bewijzen. We noemen deze limiet een standaardlimiet omdat hij gebruikt kan worden om ingewikkeldere limieten uit te rekenen. In het volgende deel zullen we bestuderen hoe dit gaat.