Limieten van rijen: Limietregels
Rekenregels voor limieten
Zoals je in de vorige opgaven zag kun je de limiet van een som uitrekenen als je de limieten van de twee losse termen al hebt:
Somregel Als \(\lim_{n\to\infty} a_n = L\) en \(\lim_{n\to\infty} b_n = M\) dan geldt \[ \lim_{n\to\infty} \left( a_n + b_n\right) = L+M\text. \]
Er is ook een productregel:
Productregel Als \(\lim_{n\to\infty} a_n = L\) en \(\lim_{n\to\infty} b_n = M\) dan geldt \[ \lim_{n\to\infty} \left( a_n \cdot b_n\right) = L\cdot M\text. \]
Een speciaal geval hiervan is de volgende regel:
Constante factorregel Als \(\lim_{n\to\infty} a_n = L\) en \(c\) een constante is dan geldt \[ \lim_{n\to\infty} c \cdot a_n = c\cdot L \]
Voor breuken kun je de quotiëntregel gebruiken:
Quotiëntregel Als \(\lim_{n\to\infty} a_n = L\) en \(\lim_{n\to\infty} b_n = M\) met \(M\neq 0\) dan geldt \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M}\text. \]
Als de noemer wel naar nul convergeert kun je soms de breuk omschrijven door de teller en noemer te delen door een geschikt getal.
De bewijzen van de productregel en de quotiëntregel zijn wat technischer en laten we hier weg.
Hieronder staan de limietregels in samengevatte vorm.
Rekenregels voor limieten \[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left( a_n + b_n\right) &= \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n \\[0.25cm]\lim_{n\to\infty}\left( a_n \cdot b_n\right) &= \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n\\[0.25cm]\\ \lim_{n\to\infty}c \cdot a_n &=c \cdot\lim_{n\to\infty} a_n\\[0.25cm] \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} &= \frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n}{\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n}\text{ als } \lim_{n\to\infty}b_n \neq 0\end{aligned}\]
