Limieten van rijen: Limietregels
De standaardlimiet n^r
In de laatste opgaven heb je gezien dat je productregel voor limieten en de standaardlimiet \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0\) kunt gebruiken om te zien dat \[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0\text.\] Om te bewijzen dat \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt n} = 0 \) had je echter nodig dat de limiet bestond om hem uit te kunnen rekenen. Bestudeer onderstaande uitwerking.
De volgende stelling zegt dat de rij \(\frac{1}{\sqrt n}\) inderdaad convergeert.
Elke niet-dalende naar boven begrensde rij en elke niet-stijgende naar beneden begrensde rij heeft een eindige limiet.
In ons geval is de rij \(1, \tfrac{1}{\sqrt 2}, \tfrac{1}{\sqrt 3},\dots\) dalend (de termen worden steeds kleiner) en is de rij begrensd door \(1\). De rij convergeert volgens bovenstaande stelling
Voor alle \(k>0\) geldt \[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k} = 0\text. \]
Voor \(k = 0\) krijgen we de constante rij \(1, 1, 1, \dots\). De limiet van deze rij is \(1\).
Bekijk nu de rij voor \(k = -1\) : \[ 1,2,3,4,5,\dots \] Er bestaat geen enkel reëel getal \(L\) zodat \(a_n \to L\). De rij wordt groter dan elk eindig getal als je ver genoeg in de rij kijkt. In onze definitie van eindige limiet heeft deze rij geen limiet. Toch valt er wel wat meer over te zeggen.
We zeggen dat een rij \((a_n)_{n=1}^\infty\) divergeert naar oneindig als voor elke \(M\) er een \(N\) is zodat \(a_n > M\) voor alle \(n > N\).
De \(M\) in de definitie kun je opvatten als een heel groot getal dat ondanks het zo groot is toch geen bovengrens is voor de rij. Er wordt een groot getal \(M\) gekozen en daarna wordt er een \(N\) gezocht zodat de rij daarna geheel boven die grens ligt. Dit vat op een wiskundig precieze manier hoe groot de rij op den duur wordt.
We noteren dit als \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \infty\text. \] Let op, dit betekent dus niet dat \(|a_n - \infty|\) klein wordt voor grote \(n\) zoals in de originele definitie van een limiet, want je kunt niet zomaar met \(\infty\) rekenen alsof het een getal is.
De volgende rekenregel vat alle gevallen samen:
\[ \lim_{n\to\infty} n^r = \begin{cases} 0 &\text{als } r < 0 \\ 1 &\text{als } r = 0 \\ \infty &\text{als } r>0\text. \end{cases} \]
We beschouwen ook deze familie van limieten als standaardlimieten. Je mag ze dus vanaf nu gebruiken zonder bewijs.
