Convergentie en divergentie

Limieten van rijen: Limietregels

Convergentie en divergentie

In het vorige onderdeel bespraken we wanneer een rij divergeert naar oneindig:

We zeggen dat een rij $\displaystyle (a_n)_{n=1}^\infty$ divergeert naar oneindig als voor elke $M$ er een $N$ is zodat $a_n > M$ voor alle $n > N$ .

We bekeken de rij $1, 2, 3, 4, \dots$ en claimden we dat

$\lim_{n\to\infty } n = \infty\text.$

Zij $M$ gegeven en kies dan $N = M$ . Voor $n > N$ geldt dan inderdaad dat $a_n = n > M$ , zoals gewenst.

Het lijkt logisch om nu te kijken naar de rij $-1, -2, -3, -4, \dots$ . We willen een uitdrukking die weergeeft dat deze rij voor elk getal op den duur kleiner wordt dan dat getal. Een andere manier om dit te zeggen is dat er geen enkele ondergrens $M$ is zodat alle punten $a_n$ groter zijn dan $M$ . Iets preciezer:

We zeggen dat een rij $(a_n)_{n=1}^\infty$ divergeert naar min oneindig als voor elke $M$ er een $N$ is zodat $a_n < M$ voor alle $n > N$ .

We noteren dit als $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$ .

Er bestaan ook rijen die niet convergeren, maar ook niet divergeren naar $\infty$ of $-\infty$ . In deze animatie zie je dat de rij

$0,1,0,1,0,1,0,1,\dots$ wel begrensd is maar niet convergeert.