Rekenregels voor limieten (vervolg)

Limieten van rijen: Limietregels

Rekenregels voor limieten (vervolg)

We hebben de volgende rekenregels voor limieten gezien:

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left( a_n + b_n\right) &= \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n\\[0.25cm] \lim_{n\to\infty}\left( a_n \cdot b_n\right) &= \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n\\[0.25cm] \lim_{n\to\infty}(c\cdot a_n) &=c \cdot \lim_{n\to\infty} a_n \\[0.25cm] \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} &= \frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n}{\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n}\end{aligned}$

Hoe zit het met deze regels voor rijen die divergeren naar plus of min oneindig? Het antwoord is dat de regels correct blijven met de volgende conventies:

$\begin{aligned} \infty + c &\;\;``="\ \infty \\[0.25cm] \infty + \infty &\;\;``="\ \infty \\[0.25cm] c\cdot\infty &\;\;``="\;\infty\quad \text{als } c> 0 \\[0.25cm] c\cdot\infty &\;\;``="\;-\infty\quad \text{als } c < 0 \\[0.25cm] \frac{c}{\infty} &\;\;``="\ 0 \end{aligned}$ en hetzelfde voor $-\infty$ . We schrijven het gelijkteken tussen aanhalingstekens om te benadrukken dat dit geen formele rekenregels zijn van de verzameling reële getallen met plus en min oneindig, maar alleen betekenis hebben in het berekenen van limieten. Dit wetende, schijven we in de toekomst wel een gelijkteken op. Als we bijvoorbeeld $a_n = n$ nemen en $c = 2$ dan geldt dat

$\lim_{n\to\infty} 2n = 2 \cdot\infty = \infty\text.$

Let op dat we niets zeggen over uitdrukkingen zoals

$0 \cdot\infty, \infty - \infty\text{ en } \frac{\infty}{\infty}\text.$ Deze uitdrukkingen worden onbepaalbaar genoemd. Als gegeven is dat $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ en $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$ kun je namelijk niets zeggen over de limiet van $\frac{a_n}{b_n}$ . We hebben hier zelfs al een opgave over gemaakt:

Bereken met behulp van de rekenregels:

$\lim_{n\to\infty} \frac{-n -2}{-n -4}\text.$

Dit is een limiet van de onbepaalde vorm $\frac{\infty}{\infty}$ . We moeten ervoor zorgen dat we hier een uitdrukking krijgen waar de rekenregels op toegepast kunnen worden.
Als we de teller en noemer delen door $n$ zien we dat

$\frac{-n -2}{-n -4} = \frac{\displaystyle -1 + \frac{-2}{n}}{\displaystyle -1 + \frac{-4}{n}}\text.$ Uit de rekenregel voor vermenigvuldiging met constantes volgt dat

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{-2}{n} &= -2 \cdot \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = -2 \cdot 0 =0\\[0.25cm] \lim_{n\to\infty}\frac{-4}{n} &= -4 \cdot \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = -4 \cdot 0 =0\text.\end{aligned}$ De somregel voor limieten geeft nu

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \left(-1 + \frac{-2}{n}\right) &= \lim_{n\to\infty} -1 + \lim_{n\to\infty}\frac{-2}{n} = -1 \\[0.25cm]\lim_{n\to\infty} \left(-1 + \frac{-4}{n}\right) &= \lim_{n\to\infty} -1 + \lim_{n\to\infty}\frac{-4}{n} = -1\text.\end{aligned}$ Uit de quotiëntregel voor limieten volgt nu dat

$\lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle -1 + \frac{-2}{n}}{\displaystyle -1 + \frac{-4}{n}} = \frac{-1}{-1}\text.$ Het antwoord is dus $1$ .

Nieuw voorbeeld

Bij onbepaalde vormen helpt het vaak om expressies te herschrijven zodanig dat je daarna wel de limietregels kunt toepassen. Bij een limiet van de vorm $\frac{a_n}{b_n}$ helpt het soms om, net zoals in het voorbeeld, de teller en noemer met eenzelfde term te vermenigvuldigen zodat de teller of noemer niet meer naar oneindig divergeert. Vaak is het handig om door de hoogste macht van $n$ die in de noemer voorkomt weg te delen.

In het volgende filmpje wordt dit hoofdstuk samengevat.