Bestudeer de rij \(a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\) met behulp van deze animatie.

Er geldt \(a_{100} \approx 0.050\) en je kunt uitrekenen dat \(a_{1000} \approx 0.016\). Om te bewijzen dat \[\lim_{n\to\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = 0\] kunnen we niet de gewone limietregels gebruiken, want \(\infty - \infty\) is een onbepaalde vorm.

Een techniek die je in dit geval kunt gebruiken is de worteltruc. Deze techniek is gebaseerd op het feit dat voor alle positieve getallen \(a\) en \(b\) geldt dat \[\sqrt a - \sqrt b = \frac{\left(\sqrt a - \sqrt b\right)\left( \sqrt a + \sqrt b \right)}{\sqrt a + \sqrt b} = \frac{a-b}{\sqrt a + \sqrt b }\text. \] Door de waarden \(a_n\) op deze manier om te schrijven kun je soms daarna alsnog de limietregels toepassen. Voor de \(a_n\) uit de animatie krijgen we bijvoorbeeld \[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(n+1)-n}{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\text.\] Dankzij de somregel gaat de noemer naar \(\infty\); dus deze breuk convergeert inderdaad naar \(0\).

In het filmpje hieronder wordt een samenvatting gegeven van deze paragraaf.