Bestudeer de rij $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ met behulp van deze animatie.

Er geldt $a_{100} \approx 0.050$ en je kunt uitrekenen dat $a_{1000} \approx 0.016$. Om te bewijzen dat

$$\lim_{n\to\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = 0$$ kunnen we niet de gewone limietregels gebruiken, want $\infty - \infty$ is een onbepaalde vorm.

Een techniek die je in dit geval kunt gebruiken is de worteltruc. Deze techniek is gebaseerd op het feit dat voor alle positieve getallen $a$ en $b$ geldt dat

$$\sqrt a - \sqrt b = \frac{\left(\sqrt a - \sqrt b\right)\left( \sqrt a + \sqrt b \right)}{\sqrt a + \sqrt b} = \frac{a-b}{\sqrt a + \sqrt b }\text.$$ Door de waarden $a_n$ op deze manier om te schrijven kun je soms daarna alsnog de limietregels toepassen. Voor de $a_n$ uit de animatie krijgen we bijvoorbeeld $$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(n+1)-n}{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\text.$$ Dankzij de somregel gaat de noemer naar $\infty$; dus deze breuk convergeert inderdaad naar $0$.

In het filmpje hieronder wordt een samenvatting gegeven van deze paragraaf.