Afschatten

Limieten van rijen: Technieken

Afschatten

De eerste paar waarden van de rij $a_n = (-1)^n + n$ voor $n\geq 1$ zijn

$0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, \dots$ Voor even waarden van $n$ geldt $a_n = n + 1$ en voor oneven waarden van $n$ geldt $a_n = n-1$ . Bekijk deze animatie

Er geldt $a_n \geq n - 1$ voor alle $n$ . Omdat de rij groter is dan een andere rij die naar $\infty$ divergeert, moet $a_n$ ook naar $\infty$ divergeren. De volgende stelling maakt dit precies:

Zij $(a_n)_{n=1}^\infty$ en $(b_n)_{n=1}^\infty$ twee rijen zodat $a_n \geq b_n$ voor alle $n$ . Dan geldt ook

$\lim_{n\to\infty} a_n \geq \lim_{n\to\infty} b_n$ als deze limieten bestaan.

Als $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$ dan is het niet nodig om aan te nemen dat $\lim_{n\to\infty} a_n$ bestaat, want $a_n$ divergeert dan altijd naar $\infty$ .

Op dezelfde manier is het ook mogelijk om een rij de andere kant op af te schatten:

Zij $(a_n)_{n=1}^\infty$ en $(b_n)_{n=1}^\infty$ twee rijen zodat $a_n \leq b_n$ voor alle $n$ . Dan geldt ook

$\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n$ als deze limieten bestaan.

Deze twee stellingen zijn met name handig om toe te passen als je vermoedt dat de limiet van een rij $\pm\infty$ is.

Er geldt

$\lim_{n\to\infty} \frac{n \sin(n) - n^4}{n^3} = -\infty\text.$

Merk op dat $-1\leq \sin(n) \leq 1$ . Voor elke $n$ hebben we

$\frac{n \sin(n) - n^4}{n^3} \leq \frac{n \cdot 1 - n^4}{n^3} = \frac{n-n^4}{n^3} = \frac{1}{n^2}-n\text.$ Volgens de limietregels hebben we

$\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{n^2}-n \right)= 0 -\infty = -\infty\text.$ Uit de stelling volgt nu dat

$\lim_{n\to\infty} \frac{n \sin(n) - n^4}{n^3} \leq \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{n^2}-n \right)= -\infty\text.$