Limieten van rijen: Technieken
Afschatten
De eerste paar waarden van de rij \(a_n = (-1)^n + n\) voor \(n\geq 1\) zijn \[ 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, \dots \] Voor even waarden van \(n\) geldt \(a_n = n + 1\) en voor oneven waarden van \(n\) geldt \(a_n = n-1\). Bekijk deze animatie
Er geldt \(a_n \geq n - 1\) voor alle \(n\). Omdat de rij groter is dan een andere rij die naar \(\infty\) divergeert, moet \(a_n\) ook naar \(\infty\) divergeren. De volgende stelling maakt dit precies:
Zij \((a_n)_{n=1}^\infty\) en \((b_n)_{n=1}^\infty\) twee rijen zodat \(a_n \geq b_n\) voor alle \(n\). Dan geldt ook \[ \lim_{n\to\infty} a_n \geq \lim_{n\to\infty} b_n \] als deze limieten bestaan.
Als \(\lim_{n\to\infty} b_n = \infty\) dan is het niet nodig om aan te nemen dat \(\lim_{n\to\infty} a_n\) bestaat, want \(a_n\) divergeert dan altijd naar \(\infty\).
Op dezelfde manier is het ook mogelijk om een rij de andere kant op af te schatten:
Zij \((a_n)_{n=1}^\infty\) en \((b_n)_{n=1}^\infty\) twee rijen zodat \(a_n \leq b_n\) voor alle \(n\). Dan geldt ook \[ \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n \] als deze limieten bestaan.
Deze twee stellingen zijn met name handig om toe te passen als je vermoedt dat de limiet van een rij \(\pm\infty\) is.
Er geldt \[ \lim_{n\to\infty} \frac{n \sin(n) - n^4}{n^3} = -\infty\text.\]