Limieten van rijen: Technieken
Inklemmen
Bekijk deze animatie van de rij \(b_n = \frac{1+(-1)^n}{n}\).
De rij lijkt uit twee delen te bestaan: de constante rij \(0\) en de rij \(\frac{2}{n}\). Deze twee rijen convergeren allebei naar \(0\) als \(n\to\infty\), dus we zouden graag willen concluderen dat ook \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\). Het inklemmingslemma, ook wel insluitstelling genoemd, maakt dit precies:
Inklemmingslemma Stel dat \((a_n)_{n=1}^{\infty}, (b_n)_{n=1}^{\infty}\) en \((c_n)_{n=1}^\infty\) drie rijen zijn zodanig dat \(a_n \leq b_n \leq c_n\) voor alle \(n\). Als \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n,\] dan convergeert \(b_n\) ook en is de limiet gelijk aan de limiet van de andere twee rijen: \[ \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} b_n= \lim_{n\to\infty} c_n\text.\]
In ons geval van \(b_n = \frac{1+(-1)^n}{n}\) kiezen we \(a_n = 0\) en \(c_n = \frac{2}{n}\) om het inklemmingslemma op toe te passen, want \[0 \leq \frac{1+(-1)^n}{n} \leq \frac{2}{n}\] voor alle \(n\). Het lemma zegt dan dat \[ 0 \leq \lim_{n\to\infty} b_n \leq 0 \] Dus is de limiet gelijk aan \(0\).
