Inklemmen

Limieten van rijen: Technieken

Inklemmen

Bekijk deze animatie van de rij $b_n = \frac{1+(-1)^n}{n}$ .

De rij lijkt uit twee delen te bestaan: de constante rij $0$ en de rij $\frac{2}{n}$ . Deze twee rijen convergeren allebei naar $0$ als $n\to\infty$ , dus we zouden graag willen concluderen dat ook $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$ . Het inklemmingslemma, ook wel insluitstelling genoemd, maakt dit precies:

Stel dat $(a_n)_{n=1}^{\infty}, (b_n)_{n=1}^{\infty}$ en $(c_n)_{n=1}^\infty$ drie rijen zijn zodanig dat $a_n \leq b_n \leq c_n$ voor alle $n$ . Als

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n,$ dan convergeert $b_n$ ook en is de limiet gelijk aan de limiet van de andere twee rijen:

$\lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} b_n= \lim_{n\to\infty} c_n\text.$

In ons geval van $b_n = \frac{1+(-1)^n}{n}$ kiezen we $a_n = 0$ en $c_n = \frac{2}{n}$ om het inklemmingslemma op toe te passen, want

$0 \leq \frac{1+(-1)^n}{n} \leq \frac{2}{n}$ voor alle $n$ . Het lemma zegt dan dat

$0 \leq \lim_{n\to\infty} b_n \leq 0$ Dus is de limiet gelijk aan $0$ .