Limieten van rijen: Standaardlimieten
Meetkundige rijen
In deze paragraaf bestuderen we rijen zoals \(b_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n\), oftewel, \[ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64},\dots\]
Meetkundige rij Een meetkundige rij is een rij waarvoor er een constante \(r\) ongelijk aan \(0\) is zodat \(a_{n+1} = r\cdot a_n\) voor alle \(n\).
De constante \(r\) wordt de reden van de meetkunde rij genoemd.
Onze rij is meetkundig met reden \(\tfrac{1}{2}\) omdat elk element precies de helft van het vorige element is: \(b_{n} = \tfrac{1}{2}b_{n-1}\). Voorwaarts opgeschreven hebben dus: \(b_{n+1} = \tfrac{1}{2}b_n\).
In dit voorbeeld kunnen we \(b_n\) inklemmen tussen \(a_n = 0\) en \(c_n = \frac{1}{n}\). Dus de limiet van deze rij is gelijk aan \(0\).
In dit interactieve diagram kun je de rij \(z^n\) bestuderen voor verschillende waarden van \(z\). Zo kun je de volgende dingen ontdekken:
- Voor \(z\leq -1\) krijgen we een alternerende rij die niet convergeert;
- Voor \(-1 < z < 1\) convergeert de rij naar \(0\);
- Voor \(z = 1\) krijgen we de constante rij \(1,1,1,1,\dots\), en dus is de limiet dan gelijk aan \(1\);
- Voor \(z > 1\) divergeert de rij naar \(\infty\).
Dit geeft de volgende standaardlimiet:
Als \(|z|<1\) dan geldt \[ \lim_{n\to\infty} z^n = 0 \]
In het volgende filmpje wordt deze paragraaf samengevat.
