We hebben gezien dat \(\lim_{n\to\infty} n^3 = \infty\) en \(\lim_{n\to\infty} 2^n = \infty\), maar omdat \(\tfrac{\infty}{\infty}\) een onbepaalde vorm is kunnen we niets over \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{2^n}\) concluderen.

In deze figuur zijn \(a_n = n^3\) getekend (groen) en \(b_n = 2^n\) (blauw) voor \(n=1\) tot en met \(n = 12\). Vanaf \(n = 10\) is \(a_n\) kleiner dan \(b_n\), dus voor de breuk geldt dan \(\frac{a_n}{b_n} \leq 1\). Als de limiet van \(\frac{a_n}{b_n}\) dus bestaat dan moet het tussen \(0\) en \(1\) liggen.

Onderzoek met deze animatie het gedrag van \(\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^3}{2^n}\).

Dit suggereert dat \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{2^n}=0\). De intuïtie bij deze limiet is dat de noemer van deze breuk veel sneller groeit dan de teller als \(n\) toeneemt. Hier zie je nogmaals een plot van \(a_n\) en \(b_n\), maar nu met \(n\) tussen de \(1\) en \(16\). Je kunt zien dat de blauwe rij inderdaad veel sneller toeneemt dan de groene rij punten.

We voegen het volgende toe aan onze lijst met standaardlimieten:

In het volgende filmpje wordt deze paragraaf samengevat.