We hebben gezien dat $\lim_{n\to\infty} n^3 = \infty$ en $\lim_{n\to\infty} 2^n = \infty$, maar omdat $\tfrac{\infty}{\infty}$ een onbepaalde vorm is kunnen we niets over $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{2^n}$ concluderen.

In deze figuur zijn $a_n = n^3$ getekend (groen) en $b_n = 2^n$ (blauw) voor $n=1$ tot en met $n = 12$. Vanaf $n = 10$ is $a_n$ kleiner dan $b_n$, dus voor de breuk geldt dan $\frac{a_n}{b_n} \leq 1$. Als de limiet van $\frac{a_n}{b_n}$ dus bestaat dan moet het tussen $0$ en $1$ liggen.

Onderzoek met deze animatie het gedrag van $\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^3}{2^n}$.

Dit suggereert dat $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{2^n}=0$. De intuïtie bij deze limiet is dat de noemer van deze breuk veel sneller groeit dan de teller als $n$ toeneemt. Hier zie je nogmaals een plot van $a_n$ en $b_n$, maar nu met $n$ tussen de $1$ en $16$. Je kunt zien dat de blauwe rij inderdaad veel sneller toeneemt dan de groene rij punten.

We voegen het volgende toe aan onze lijst met standaardlimieten:

In het volgende filmpje wordt deze paragraaf samengevat.