Een bijzondere limiet

Limieten van rijen: Standaardlimieten

Een bijzondere limiet

In deze paragraaf zullen we de rij $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n$ bestuderen. Deze animatie suggereert dat de rij convergeert en dat de limiet ongeveer gelijk is aan $2.7$ .

Voor elke $x\in\mathbb{R}$ geldt:

$\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x$

Om dit te bewijzen moeten we eerst nagaan hoe het getal $e$ eigenlijk is gedefinieerd. Het is zelfs gebruikelijk om af te spreken dat $e$ het getal is dat de limiet is van deze rij. Deze stelling verandert dan dus eigenlijk in een wiskundige definitie.

Een andere optie is om de natuurlijke logaritme $\ln(x)$ te definieren als een primitieve van $f(x) = \frac{1}{x}$ en om dan $e$ gelijk te stellen aan de unieke oplossing van $\ln(x) = 1$ . Het idee van het bewijs van de stelling is dan dat we deze rij op de volgende manier inklemmen:

$\frac{e}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}} \leq \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq e\text.$

Het invullen van $x=1$ geeft nu

$\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e\text.$

Het getal $e$ is een wiskundige constante die ongeveer gelijk is aan $2.71828$ . Het getal $e$ heeft de bijzondere eigenschap dat de functie $f(x) = e^x$ zijn eigen afgeleide is.

In het volgende filmpje wordt deze paragraaf samengevat.