Een bijzondere limiet

Limieten van rijen: Standaardlimieten

Een bijzondere limiet

In deze paragraaf zullen we de rij \(a_n = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n\) bestuderen. Deze animatie suggereert dat de rij convergeert en dat de limiet ongeveer gelijk is aan \(2.7\).

Voor elke \(x\in\mathbb{R}\) geldt: \[ \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x\]

Om dit te bewijzen moeten we eerst nagaan hoe het getal \(e\) eigenlijk is gedefinieerd. Het is zelfs gebruikelijk om af te spreken dat \(e\) het getal is dat de limiet is van deze rij. Deze stelling verandert dan dus eigenlijk in een wiskundige definitie.

Een andere optie is om de natuurlijke logaritme \(\ln(x)\) te definieren als een primitieve van \(f(x) = \frac{1}{x}\) en om dan \(e\) gelijk te stellen aan de unieke oplossing van \(\ln(x) = 1\). Het idee van het bewijs van de stelling is dan dat we deze rij op de volgende manier inklemmen: \[ \frac{e}{\displaystyle 1+\frac{1}{n}} \leq \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq e\text.\]

Het invullen van \(x=1\) geeft nu \[ \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e\text. \]

Het getal \(e\) is een wiskundige constante die ongeveer gelijk is aan \(2.71828\). Het getal \(e\) heeft de bijzondere eigenschap dat de functie \(f(x) = e^x\) zijn eigen afgeleide is.

In het volgende filmpje wordt deze paragraaf samengevat.