Limieten naar oneindig

Limieten van functies: Verschillende soorten limieten

Limieten naar oneindig

Net zoals we voor rijen het gedrag op de lange termijn kunnen bestuderen, kunnen we dat ook voor functies. Zo geldt er bijvoorbeeld

$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0\text.$ De precieze definitie is:

De limiet naar oneindig van een functie $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ is $L$ als er voor alle $\epsilon > 0$ een $N$ is zodat voor $x > N$ geldt dat $|f(x) - L|<\epsilon$ .

We noteren dit als $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ . Vergelijk dit met de definitie van een limiet van een rij:

De limiet van een rij $(a_n)_{n=1}^\infty$ is $L$ als voor alle $\epsilon>0$ er een $N$ is zodat voor alle $n>N$ geldt dat $|a_n - L|<\epsilon$ .

Er is een subtiel verschil tussen deze twee definities: bij de definitie van $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ moet voor alle reële getallen $x>N$ gelden dat $|f(x) - L|<\epsilon$ en in de definitie van $\lim_{n\to\infty}a_n = L$ bekijken we alleen natuurlijke getallen $n > N$ . In het volgende voorbeeld wordt dit verschil benadrukt:

Bekijk de functie

$f(x) = \sin(2\pi x)\text.$ De periode van deze functie is $1$ , dus er geldt $f(0) = f(1) = f(2) = \dots = 0$ . Wanneer we dus de rij $a_n = \sin(2\pi n)$ bekijken zien we dat $a_n = 0$ voor alle $n$ . Er geldt dus $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ , maar de limiet $\lim_{x\to\infty} f(x)$ bestaat niet omdat de functie oscilleert tussen $-1$ en $1$ .

Op dezelfde manier definiëren we $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ .

De limiet naar min oneindig van een functie $f : \mathbb R\to\mathbb R$ is $L$ als er voor alle $\epsilon > 0$ een $N$ is zodat voor $x < N$ geldt dat $|f(x) - L|<\epsilon$ .

Er geldt

$\lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x}=0$

Zij $\epsilon > 0$ gegeven en definieer $N = -\frac{1}{\epsilon}$ . Voor $x < N$ geldt dan $0>\frac{1}{x} > \frac{1}{N} = -\epsilon$ want $N$ is negatief. We hebben dus $\frac{1}{x}\in (-\epsilon,0)$ en hieruit volgt dat $\left| \frac{1}{x} - 0 \right| < \epsilon$ .