Limieten van functies: Verschillende soorten limieten
Limieten naar oneindig
Net zoals we voor rijen het gedrag op de lange termijn kunnen bestuderen, kunnen we dat ook voor functies. Zo geldt er bijvoorbeeld \[ \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0\text.\] De precieze definitie is:
De limiet naar oneindig van een functie \(f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is \(L\) als er voor alle \(\epsilon > 0\) een \(N\) is zodat voor \(x > N\) geldt dat \(|f(x) - L|<\epsilon\).
We noteren dit als \(\lim_{x\to\infty} f(x) = L\). Vergelijk dit met de definitie van een limiet van een rij:
De limiet van een rij \((a_n)_{n=1}^\infty\) is \(L\) als voor alle \(\epsilon>0\) er een \(N\) is zodat voor alle \(n>N\) geldt dat \(|a_n - L|<\epsilon\).
Er is een subtiel verschil tussen deze twee definities: bij de definitie van \(\lim_{x\to\infty}f(x)=L\) moet voor alle reële getallen \(x>N\) gelden dat \(|f(x) - L|<\epsilon\) en in de definitie van \(\lim_{n\to\infty}a_n = L\) bekijken we alleen natuurlijke getallen \(n > N\). In het volgende voorbeeld wordt dit verschil benadrukt:
Bekijk de functie \[ f(x) = \sin(2\pi x)\text. \] De periode van deze functie is \(1\), dus er geldt \(f(0) = f(1) = f(2) = \dots = 0\). Wanneer we dus de rij \( a_n = \sin(2\pi n)\) bekijken zien we dat \(a_n = 0\) voor alle \(n\). Er geldt dus \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\), maar de limiet \(\lim_{x\to\infty} f(x)\) bestaat niet omdat de functie oscilleert tussen \(-1\) en \(1\).
Op dezelfde manier definiëren we \(\lim_{x\to-\infty} f(x)\).
De limiet naar min oneindig van een functie \(f : \mathbb R\to\mathbb R\) is \(L\) als er voor alle \(\epsilon > 0\) een \(N\) is zodat voor \(x < N\) geldt dat \(|f(x) - L|<\epsilon\).
Er geldt \[ \lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x}=0 \]