In plaats van het gedrag van een functie te bestuderen voor \(x\to\infty\), kunnen we functies bijvoorbeeld ook rond een vast gekozen punt, zeg \(x=a\), analyseren. Dit betekent dat we de waarden van \(f(x)\) bekijken voor \(x\)-waarden heel dicht bij \(a\).

We noteren dit als \[ \lim_{x\to a} f(x) = L\text. \] De \(\epsilon\) in de definitie is weer op te vatten als een foutmarge. Gegeven deze foutmarge is er een kleine \(\delta\) zodat voor alle \(x\in \left( a - \delta, a + \delta \right)\) het verschil tussen \(f(x)\) en de limiet \(L\) kleiner is dan de foutmarge. Dit zegt dus dat voor \(x\)-waarden heel dicht bij \(a\) de functiewaarden heel dicht bij \(L\) liggen. Merk op dat \(f(a)\) niet hoeft te bestaan. Zelfs als \(f(a)\) wel bestaat hoeft het niet gelijk te zijn aan \(L\), want het punt \(x=a\) voldoet niet aan \(0<|x-a|\).

Het is vooral interessant om functies rond een punt te bestuderen als ze niet gedefinieerd zijn in dat punt. Bestudeer een paar voorbeelden door op "nieuw voorbeeld" te klikken:

Als je hierboven aan aantal voorbeelden bekeken hebt, dan heb je gezien dat er limieten werden uitgerekend van breuken die niet gedefinieerd waren in het punt zelf, omdat zowel de teller als noemer gelijk waren aan nul. De limieten hebben dus bij invulling van het limietpunt de onbepaalde vorm \(\frac{0}{0}\).
Door de teller en noemer te ontbinden kun je soms termen tegen elkaar wegdelen om hierna de limietregels toe te kunnen passen.

In de sectie Technieken besteden we een paragraaf aan hoe je functies kunt ontbinden in factoren.