Limieten van functies: Verschillende soorten limieten
Eenzijdige limieten
Bekijk de functie \[ f(x) = \frac{x^2-1}{|x-1|}\text. \] Deze functie is gedefinieerd voor alle \(x\neq 1\), dus het is interessant om te bestuderen wat er rond \(x=1\) gebeurt. In de tabel hieronder vullen we \(x\)-waarden in de buurt van \(1\) in:
| \(x\) | 0.9 | 0.99 | 0.999 | 0.9999 | 1 | 1.0001 | 1.001 | 1.01 | 1.1 |
| \(f(x)\) | -1.9 | -1.99 | -1.999 | -1.9999 | 2.0001 | 2.001 | 2.01 | 2.1 |
We zien dat de functiewaarden aan de linkerkant van de tabel steeds meer op \(-2\) lijken, terwijl aan de rechterkant van \(1\) het lijkt alsof de limiet juist \(2\) is.
De linkerlimiet van \(f\) naar een punt \(a\) is \(L\) als voor alle \(\epsilon > 0\) er een \(\delta>0\) is zodat \(a-\delta < x < a\) impliceert dat \(\left| f(x) - L \right|<\epsilon\).
Met andere woorden, voor \(x\in \left( a - \delta, a\right)\) lijkt de functiewaarde \(f(x)\) op \(L\). We noteren dit in symbolen als \[ \lim_{x\uparrow a} f(x) = L\text.\] Een andere in vakliteratuur gangbare notatie voor linkerlimiet is \(\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)\text.\)
Op dezelfde manier definiëren we ook de rechterlimiet van een functie naar een punt.
De rechterlimiet van \(f\) naar een punt \(a\) is \(L\) als voor alle \(\epsilon > 0\) er een \(\delta>0\) is zodat \(a < x < a + \delta\) impliceert dat \(\left| f(x) - L \right|<\epsilon\).
We noteren dit als \[ \lim_{x\downarrow a} f(x) = L\text. \] Een andere in vakliteratuur gangbare notatie voor rechterlimiet is \(\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)\text.\)
Met de door ons gekozen notatie hebben we in ons voorbeeld \[ \lim_{x\uparrow 1} \frac{x^2-1}{|x-1|} = -2 \quad\text{ en }\quad \lim_{x\downarrow 1} \frac{x^2-1}{|x-1|} = 2\]
