Limieten van functies: Verschillende soorten limieten
Continuïteit van functies
Er is een belangrijk verband tussen de verschillende limieten naar een punt.
Voor elke \(a\in\mathbb R\) en alle \(L\in \mathbb R \cup\{\pm\infty\}\) geldt \[ \lim_{x\to a} f(x) = L\] dan en slechts dan als \[\lim_{x\uparrow a} f(x) = \lim_{x\downarrow a} f(x) = L\]
Herinner je dat de limiet \(\lim_{x\to a}f(x) = L\) niets zegt over de waarde \(f(a)\), omdat we alleen \(x\)-waarden bestuderen die voldoen aan \(0<|x-a|<\delta\). Wanneer de functiewaarde in \(a\) gelijk is aan de limiet noemen we een functie continu in \(x=a\).
Een functie \(f\) is continu in een punt \(x=a\) wanneer \(a\) in het domein zit en \[ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \]
Met de stelling die we net hebben behandeld zien we dat dit hetzelfde is als de eis dat de linkerlimiet en de rechterlimiet gelijk zijn aan \(f(a)\).
We spreken van een continue functie wanneer deze functie continu is in alle waarden van het domein.
Elementaire functies zoals \(x^n, \sin(x), \cos(x)\) en \(e^x\) zijn continu. Bekende functies zoals \(\ln (x)\) en \(\tan(x)\) zijn niet voor elke waarde van \(x\) gedefinieerd, maar zijn continu waar ze wel gedefinieerd zijn.
Als \(f\) en \(g\) beide continu zijn in \(x=a\) dan is \(f+g\) ook continu in \(x=a\).
Hieruit volgt direct dat de som van continue functies ook continu is. De samenstelling van twee continue functies, oftewel \((f\circ g)(x) := f(g(x))\) is ook continu als beide functies continu zijn.
Als \(g\) continu is in \(x=a\) en \(f\) continu is in \(x=g(a)\) dan is \(f\circ g\) ook continu in \(x=a\).
Hieruit volgt dat de samenstelling van continue functies weer continu is. Dit zegt eigenlijk dat je limieten en continue functies mag omwisselen: \[ \lim_{x\to a} f( g(x)) = f\left( \lim_{x\to a} g(x) \right) \]
We sluiten deze paragraaf af met een paar voorbeelden.
Er geldt \[ \lim_{x\to\infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right) = \cos (0) = 1 \]
Als je al weet dat een functie continu is, dan kun je eenvoudig limieten uitrekenen. Onderstaand voorbeeld illustreert dit.
De functie #f# is continu en gedefinieerd in het punt #x=5#; dus geldt \[\begin{aligned}\lim_{x\to5}f(x)&=f(5)\\[0.25cm]&=5^2+7\cdot 5+9\\[0.25cm]&=69\end{aligned}\]