Limieten gelijk aan oneindig

Limieten van functies: Verschillende soorten limieten

Limieten gelijk aan oneindig

We hebben in de laatste drie paragrafen gezien wat de volgende limieten betekenen:

$\begin{aligned} \lim_{x\to a} f(x) &= L, \qquad \lim_{x\uparrow a} f(x)=L, \qquad \lim_{x\downarrow a} f(x) = L\\ \lim_{x\to \infty} f(x) &= L ,\qquad\lim_{x\to -\infty} f(x) = L\text,\end{aligned}$ waarbij $L\in\mathbb R$ . Net zoals bij limieten van rijen kunnen ook deze limieten gelijk zijn aan $\pm\infty$ . In deze paragraaf zullen we de precieze definities hiervan geven.

Een rij divergeert naar oneindig als er geen bovengrens is. Dit houdt in dat voor elk getal $M$ de rij op den duur groter wordt dan $M$ . Op dezelfde manier is de limiet van $f(x)$ naar een punt $a$ gelijk aan oneindig als voor elk getal $M$ de functie dicht genoeg bij het punt $x=a$ groter is dan $M$ . Met andere woorden, er is een klein interval rond $x=a$ waar de functie groter is dan $M$ :

De limiet naar $a$ van een functie $f$ is $\infty$ als er voor alle $M$ een $\delta > 0$ is zodat voor $x$ zodat $0<|x - a|<\delta$ geldt dat $f(x) > M$ .

We noteren dit als

$\lim_{x\to a} f(x) = \infty\text.$

De linkerlimiet van $f$ naar een punt $a$ is $\infty$ als voor alle $M$ er een $\delta>0$ is zodat $a-\delta < x < a$ impliceert dat $f(x) > M$ .

We noteren dit als

$\lim_{x\uparrow a} f(x) = \infty\text.$

De rechterlimiet van $f$ naar een punt $a$ is $\infty$ als voor alle $M$ er een $\delta>0$ is zodat $a < x < a + \delta$ impliceert dat $f(x)>M$ .

We noteren dit als

$\lim_{x\downarrow a} f(x) = \infty\text.$

Tot slot hebben we nog de limieten naar $\pm\infty$ . Deze definities lijken op de definities van $\lim_{n\to\infty} a_n = \pm\infty$ :

De limiet van $f$ naar $\infty$ is gelijk aan $\infty$ voor elke $M$ er een $N$ is zodat $f(x) > M$ voor alle $x > N$ .

We noteren dit als

$\lim_{x\to \infty} f(x) = \infty\text.$

De limiet van $f$ naar $\infty$ is gelijk aan $-\infty$ voor elke $M$ er een $N$ is zodat $f(x) > M$ voor alle $x < N$ .

Door in de vijf definities $f(x) > M$ te vervangen door $f(x) < M$ eis je dat de functie voor elke $M$ voor grote $x$ -waarden kleiner wordt dan die $M$ . Je krijgt dan precies de definities van

$\begin{aligned} \lim_{x\to a} f(x) &= -\infty, \qquad \lim_{x\uparrow a} f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\downarrow a} f(x) = -\infty\\ \lim_{x\to \infty} f(x) &= -\infty ,\qquad\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty\text.\end{aligned}$

Merk op dat als je weet dat $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$ , de functie $f$ nooit continu kan zijn in het punt $x = a$ . De functie kan namelijk niet de waarde $\infty$ aannemen omdat het geen reëel getal is.