Limieten van functies: Verschillende soorten limieten
Limieten gelijk aan oneindig
We hebben in de laatste drie paragrafen gezien wat de volgende limieten betekenen: \[ \begin{aligned} \lim_{x\to a} f(x) &= L, \qquad \lim_{x\uparrow a} f(x)=L, \qquad \lim_{x\downarrow a} f(x) = L\\ \lim_{x\to \infty} f(x) &= L ,\qquad\lim_{x\to -\infty} f(x) = L\text,\end{aligned} \] waarbij \(L\in\mathbb R\). Net zoals bij limieten van rijen kunnen ook deze limieten gelijk zijn aan \(\pm\infty\). In deze paragraaf zullen we de precieze definities hiervan geven.
Een rij divergeert naar oneindig als er geen bovengrens is. Dit houdt in dat voor elk getal \(M\) de rij op den duur groter wordt dan \(M\). Op dezelfde manier is de limiet van \(f(x)\) naar een punt \(a\) gelijk aan oneindig als voor elk getal \(M\) de functie dicht genoeg bij het punt \(x=a\) groter is dan \(M\). Met andere woorden, er is een klein interval rond \(x=a\) waar de functie groter is dan \(M\):
De limiet naar \(a\) van een functie \(f\) is \(\infty\) als er voor alle \(M\) een \(\delta > 0\) is zodat voor \(x\) zodat \(0<|x - a|<\delta\) geldt dat \(f(x) > M\).
We noteren dit als \[\lim_{x\to a} f(x) = \infty\text.\]
De linkerlimiet van \(f\) naar een punt \(a\) is \(\infty\) als voor alle \(M\) er een \(\delta>0\) is zodat \(a-\delta < x < a\) impliceert dat \( f(x) > M\).
We noteren dit als \[\lim_{x\uparrow a} f(x) = \infty\text.\]
De rechterlimiet van \(f\) naar een punt \(a\) is \(\infty\) als voor alle \(M\) er een \(\delta>0\) is zodat \(a < x < a + \delta\) impliceert dat \(f(x)>M\).
We noteren dit als \[\lim_{x\downarrow a} f(x) = \infty\text.\]
Tot slot hebben we nog de limieten naar \(\pm\infty\). Deze definities lijken op de definities van \(\lim_{n\to\infty} a_n = \pm\infty\):
De limiet van \(f\) naar \(\infty\) is gelijk aan \(\infty\) voor elke \(M\) er een \(N\) is zodat \(f(x) > M\) voor alle \(x > N\).
We noteren dit als \[\lim_{x\to \infty} f(x) = \infty\text.\]
De limiet van \(f\) naar \(\infty\) is gelijk aan \(-\infty\) voor elke \(M\) er een \(N\) is zodat \(f(x) > M\) voor alle \(x < N\).
Door in de vijf definities \(f(x) > M\) te vervangen door \(f(x) < M\) eis je dat de functie voor elke \(M\) voor grote \(x\)-waarden kleiner wordt dan die \(M\). Je krijgt dan precies de definities van \[ \begin{aligned} \lim_{x\to a} f(x) &= -\infty, \qquad \lim_{x\uparrow a} f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\downarrow a} f(x) = -\infty\\ \lim_{x\to \infty} f(x) &= -\infty ,\qquad\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty\text.\end{aligned} \]
Merk op dat als je weet dat \(\lim_{x\to a} f(x) = \infty\), de functie \(f\) nooit continu kan zijn in het punt \(x = a\). De functie kan namelijk niet de waarde \(\infty\) aannemen omdat het geen reëel getal is.