Limieten van functies: Technieken
Rekenregels voor limieten
We hebben de volgende rekenregels voor limieten van rijen gezien:
Rekenregels voor limieten van rijen \[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left( a_n + b_n\right) &= \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n \\[0.25cm] \lim_{n\to\infty}\left( a_n \cdot b_n\right) &= \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n\\[0.25cm] \lim_{n\to\infty}(c \cdot a_n) &=c \cdot\lim_{n\to\infty} a_n\\[0.25cm] \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} &= \frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n}{\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n}\text{ als } \lim_{n\to\infty}b_n \neq 0\end{aligned}\]
Precies dezelfde rekenregels gelden ook voor limieten van functies:
Rekenregels voor limieten van functies \[ \begin{aligned} \lim_{x\to a}\left( f(x) + g(x)\right) &= \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x) \\[0.25cm] \lim_{x\to a}\left( g(x) \cdot f(x) \right) &= \lim_{x\to a} f(x) \cdot \lim_{x\to a} g(x)\\\lim_{x\to a}\bigl(c\cdot f(x)\bigr) &=c \cdot \lim_{x\to a} f(x)\\[0.25cm] \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)}\text{ als } \lim_{x\to a} g(x) \neq 0\end{aligned}\]
De limietregels gelden ook voor de eenzijdige limieten \(\lim_{x\downarrow a}\) en \(\lim_{x\uparrow a}\) en ook voor limieten naar \(\pm\infty\), oftewel \(\lim_{x\to \infty}\) en \(\lim_{x\to-\infty}\).
Net zoals bij limieten van rijen hanteren we de volgende conventies: \[\begin{aligned}
\infty + c &\;\;``="\ \infty \\[0.25cm]
\infty + \infty &\;\;``="\ \infty \\[0.25cm]
c\cdot\infty &\;\;``="\;\infty\quad \text{als } c> 0 \\[0.25cm]
c\cdot\infty &\;\;``="\;-\infty\quad \text{als } c < 0 \\[0.25cm]
\frac{c}{\infty} &\;\;``="\ 0 \\
\end{aligned}\] en hetzelfde voor \(-\infty\). Als we bijvoorbeeld \(f(x)=x\) nemen en \(g(x) = 2 + \frac{1}{x}\) dan geldt dat \[ \lim_{x\to\infty} x\left( 2 + \frac{1}{x} \right) = 2 \cdot\infty = \infty\text.\]
Merk op dat we opnieuw niets zeggen over uitdrukkingen zoals \[ 0 \cdot\infty, \infty - \infty\text{ en } \frac{\infty}{\infty}\text.\] Deze uitdrukkingen worden onbepaalbaar genoemd.
