Inklemmen

Limieten van functies: Technieken

Inklemmen

Het inklemmingslemma geldt ook voor limieten van functies.

Als $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ en $\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x)$ dan is ook
$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x)$

De $\lim$ s in de stelling moeten vervangen worden door $\lim_{x\to a}$ , $\lim_{x\uparrow a}$ , $\lim_{x\downarrow a}$ , $\lim_{x\to \infty}$ of $\lim_{x\to -\infty}$ . Er zijn dus eigenlijk vijf inklemmingslemma's.

Je kunt ook nog steeds limieten afschatten. Twee ongelijkheden die je vaak kunt gebruiken zijn $\begin{aligned} -1 \leq \cos(x)&\leq 1 \\[0.25cm] -1 \leq \sin(x) &\leq 1\end{aligned}$

$\lim_{x\to 0} x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0$ We weten namelijk dat $-1 \leq \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\leq 1$ voor alle $x$ en dit impliceert dat $x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ ingeklemd kan worden tussen de twee lijnen $y=x$ en $y=-x$ . We weten dat $\lim_{x\to 0} \pm x = 0$ dus moet de gevraagde limiet ook gelijk aan nul zijn.

Merk op dat dit impliceert dat de volgende functie continu is: $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}x \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) & \text{als }x \neq 0, \\ 0 & \text{als }x=0. \end{array} \right.$