Limieten van functies: Technieken
Inklemmen
Het inklemmingslemma geldt ook voor limieten van functies.
Inklemmingslemma Als \[g(x) \leq f(x) \leq h(x)\] en \[\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x)\] dan is ook
\[\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x)\]
De \(\lim\)s in de stelling moeten vervangen worden door \(\lim_{x\to a}\), \(\lim_{x\uparrow a}\), \(\lim_{x\downarrow a}\), \(\lim_{x\to \infty}\) of \(\lim_{x\to -\infty}\). Er zijn dus eigenlijk vijf inklemmingslemma's.
Je kunt ook nog steeds limieten afschatten. Twee ongelijkheden die je vaak kunt gebruiken zijn \[ \begin{aligned} -1 \leq \cos(x)&\leq 1 \\[0.25cm] -1 \leq \sin(x) &\leq 1\end{aligned} \]
\[\lim_{x\to 0} x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0\] We weten namelijk dat \[ -1 \leq \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\leq 1 \] voor alle \(x\) en dit impliceert dat \(x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) ingeklemd kan worden tussen de twee lijnen \(y=x\) en \(y=-x\). We weten dat \(\lim_{x\to 0} \pm x = 0\) dus moet de gevraagde limiet ook gelijk aan nul zijn.
Merk op dat dit impliceert dat de volgende functie continu is: \[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}x \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) & \text{als }x \neq 0, \\ 0 & \text{als }x=0. \end{array} \right.\]
