Limieten van functies: Technieken
Ontbinden in factoren
We hebben gezien dat bij de onbepaalde vorm \(\frac{0}{0}\) het vaak helpt om de teller en noemer te ontbinden in factoren en daarna zoveel mogelijk termen weg te delen. In deze paragraaf leer je een paar methoden om zo'n ontbinding te vinden.
De som/productregel, ook wel ontbinding in factoren door inspectie genoemd, is een manier om kwadratische veeltermen te ontbinden. Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt dat \[ (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\text. \] Als we dus een tweedegraads veelterm van de vorm \(x^2 + cx + d\) hebben kunnen we dat schrijven als \((x+a)(x+b)\) wanneer \(a + b = c\) en \(ab = d\). Je zoekt dus twee getallen die keer elkaar gelijk zijn aan \(d\) en bij elkaar opgeteld gelijk aan \(c\).
De gevraagde ontbinding is dus \[ x^2 + 11 x+ 28 = (x + 7)(x + 4)\text. \]
Wanneer je de oplossing van de som/productregel niet ziet kun je de \(abc\)-formule gebruiken om de nulpunten te vinden van de kwadratische functie. De hoofdstelling van de algebra zegt namelijk
Hoofdstelling van de algebra Elke veelterm \(p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x + a_0\) is te ontbinden als \[ p(x) = a_n\left( x - x_1 \right)\left( x - x_2 \right)\cdots \left( x - x_n \right) \] waarbij \(x_1, \dots, x_n\) de nulpunten zijn van \(p\). Hierbij kunnen sommige nulpunten meer dan eens voorkomen (het precieze aantal wordt de multipliciteit van een nulpunt genoemd).
Veeltermen kunnen dus worden ontbonden in hun nulpunten:
Om \(x^2 +4x +2\) te factoriseren berekenen we eerst de nulpunten met behulp van de \(abc\)-formule. Dit geeft \[ x = -2\pm\sqrt 2\text. \] Dit betekent dat \[\begin{aligned}x^2 +4x +2 &= \left( x - \left( -2 + \sqrt 2\right) \right)\left( x - \left( -2 - \sqrt 2\right)\right)\\&= \left( x + 2 - \sqrt 2 \right)\left( x + 2 + \sqrt 2\right)\text. \end{aligned}\]
Voor veeltermen van graad 3 of hoger is het niet altijd mogelijk om de nulpunten uit te rekenen. Je kunt een quotiënt \(\frac{p(x)}{q(x)}\) van veeltermen dan staartdelen.
