Een staartdeling is een methode om een breuk van polynomen \(\frac{p(x)}{q(x)}\) te schrijven als \[ \frac{p(x)}{q(x)} = h(x) + \frac{r(x)}{q(x)}\text, \] waarbij \(r\) een polynoom is van lagere graad dan \(q\). De \(r\) is de rest bij deling. Dit is helderder als je schrijft: \[p(x)=h(x)\cdot q(x) +r(x)\] We bekijken eerst staartdelingen waarbij de rest gelijk is aan nul.

Stel dat we de breuk \(\frac{x^3-1}{x-1}\) willen vereenvoudigen. In de notatie voor staartdeling schrijven we dat als volgt op: \[ \begin{array}{lclcr}x-1 &/ &\begin{array}[t]{lr}x^3-1\end{array} &\backslash & \end{array}\] Rechts van de tweede streep zal het eindantwoord komen en onder de \(x^3-1\) zullen we de stappen van de staartdeling uitwerken. Net zoals bij het delen van getallen zullen we in elke stap veelvouden van \(x-1\) van \(x^3-1\) afhalen tot we een zo klein mogelijke rest krijgen. Een zo klein mogelijke rest betekent hier dat we de hoogste macht van \(x\) in de rest zo klein mogelijk willen hebben.

In de eerste stap van de staartdeling willen we een veelvoud van \(x-1\) van \(x^3-1\) afhalen zodat de term met de hoogste macht, \(x^3\), wegvalt. We moeten dus \(x^2\) keer \(x-1\) van \(x^3-1\) afhalen. Wanneer je \(-x^3\) keer \(x-1\) er vanaf zou trekken valt de term met \(x^3\) ook weg, maar dan krijgen we extra term met \(x^4\), terwijl we de macht van de rest juist willen verlagen. We zetten de \(x^2\) aan de rechterkant neer en \(x^2(x-1)=x^3-x^2\) onder de \(x^3-1\). De eerste stap van de staartdeling ziet er dus als volgt uit: \[ \begin{array}{lclcr}x-1 &/ &\begin{array}[t]{lr}x^3-1\\{\blue{x^3-x^2}}&-\\ \hline \end{array} &\backslash & {\blue{x^2}}\end{array}\] We halen nu de \(x^3-x^2\) van \(x^3-1\) af en we zien dat de \(x^3\) inderdaad wegvalt: \[ \begin{array}{lclcr}x-1 &/ &\begin{array}[t]{lr}x^3-1\\{\blue{x^3-x^2}}&-\\ \hline x^2-1\end{array} &\backslash & {\blue{x^2}}\end{array}\] De rest is \(x^2+x+1\). Om nu de \(x^2\) weg te laten vallen halen we in de tweede stap \(x\) keer \(x-1\) weg: \[ \begin{array}{lclcr}x-1 &/ &\begin{array}[t]{lr}x^3-1\\{\blue{x^3-x^2}}&-\\ \hline x^2-1\\{\blue{x^2-x}}&-\\ \hline x-1\end{array} &\backslash & {\blue{x^2+x}}\end{array}\] De rest is nu precies \(1\) keer \(x-1\). De volledige staartdeling ziet er dus als volgt uit: \[ \begin{array}{lclcr}x-1 &/ &\begin{array}[t]{lr}x^3-1\\{\blue{x^3-x^2}}&-\\ \hline x^2-1\\{\blue{x^2-x}}&-\\ \hline x-1\\{\blue{x-1}}&-\\ \hline 0\end{array} &\backslash & {\blue{x^2+x+1}}\end{array}\]
Dit betekent dat \(\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1\) en als je de haakjes uitwerkt kun je zien dat \((x^2+x+1)(x-1)\) inderdaad gelijk is aan \(x^3-1\).

In ons voorbeeld eindigden we met rest nul, maar dit is niet altijd het geval. Wanneer we bijvoorbeeld \(\frac{x^3+2}{x+1}\) staartdelen houden we een rest van \(1\) over: \[ \begin{array}{lclcr}x+1 &/ &\begin{array}[t]{lr}x^3+2\\{\blue{x^3+x^2}}&-\\ \hline 2-x^2\\{\blue{-x^2-x}}&-\\ \hline x+2\\{\blue{x+1}}&-\\ \hline 1\end{array} &\backslash & {\blue{x^2-x+1}}\end{array}\] Dit betekent dat \[ x^3 + 2 = (x^2-x+1)(x+1) + 1\text, \]oftewel \[ \frac{x^3+2}{x+1} = x+1 + \frac{1}{x+1} \text.\]

In de volgende voorbeelden worden nog meer staartdelingen uitgewerkt: