Limieten van functies: Technieken
Regel van L'Hôpital
Bij het bestuderen van de rekenregels kwamen we de volgende onbepaalde vormen tegen: \[ \frac{0}{0} \text{ en }\frac{\pm\infty}{\pm\infty} \text.\] Een voorbeeld is \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)}\text. \] Zowel de teller als de noemer convergeert naar nul, dus je mag de quotiëntregel voor limieten niet toepassen. In deze paragraaf leer je een stelling toe te passen waardoor je deze limiet alsnog kunt uitrekenen.
De regel van L'Hôpital zegt dat onder de juiste voorwaarden we de teller en noemer mogen afleiden om een nieuwe breuk te maken waarvan we de limiet uitrekenen:
Regel van L'Hôpital Stel dat \(f\) en \(g\) functies zijn waarvoor \(\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) bestaat. Veronderstel verder dat \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0\) en \(\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=0\) (beide limieten gelijk aan \(0\)) of dat \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\) en \(\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty\) (beide limieten gelijk aan plus of min oneindig).
Dan geldt: \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
De regel van L'Hôpital levert de standaardlimiet \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{1}=1\]
Let bij elke limiet van een breuk op of aan de voorwaarden van de regel van L'Hôpital wel voldaan is. De regel mag alleen worden toegepast bij de onbepaalde vormen \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{\infty}{-\infty}\), \(\frac{-\infty}{\infty}\) en \(\frac{-\infty}{-\infty}\).
We hebben \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)+1}=0\] omdat de teller naar \(0\) gaat en de noemer naar \(1\) convergeert wanneer \(x\to 0\).
Het blindelings toepassen van L'Hôpitals regel levert een ander resultaat op: \[\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\sin(2x)}{\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}(\sin(3x)+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{2\cos(2x)}{3\cos(3x)}=\frac{2}{3}\] Aan de voorwaarden van de regel van L'Hôpital is dan ook niet voldaan.
