Limieten van functies: Technieken
Substitutie
Herinner je dat er voor continue functies \(f\) geldt dat \[ \lim_{y\to a} f\left(g(y)\right) = f\left( \lim_{y\to a} g(y)\right) \] Wanneer we dit tweemaal toepassen zien we dat \[ \lim_{y\to a} f\left(g(y)\right) = f\left( \lim_{y\to a} g(y) \right) = \lim_{x \to \lim_{y\to a} g(y)} f(x)\]
Substituties zijn handig om limieten van samenstellingen uit te rekenen. Als we nu een gegeven limiet \(\lim_{x\to b} f(x)\) hebben dan kunnen we ook zelf een functie \(g\) en een punt \(a\) kiezen die voldoet aan \(\lim_{y\to a} g(y) = b\). Vervolgens krijgen we: \[ \lim_{x \to b} f(x) = \lim_{y\to a} f\left(g(y)\right) \] Substitutie werkt ook voor limieten naar \(\pm\infty\).
In de volgende twee voorbeelden rekenen we limieten uit met behulp van substituties:
Er geldt \[ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left( \cos\left( x \right) \right)}{\cos(x)} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \]
\(\displaystyle \lim_{x\to -3} \frac{-2 x - 6}{\sqrt[3]{x + 30 } - 3}={}\)\(-54\)
We hebben hier een limiet van de onbepaalde vorm \(\frac{0}{0}\). We substitueren \(y = \sqrt[3]{ x + 30 } \). Dit geeft \(y^3 = x + 30\), oftewel \(x = y^3 - 30\). De functie wordt dan \[ \frac{-2 x - 6}{\sqrt[3]{x + 30 } - 3} = \frac{-2 y^3 + 54}{y-3} \] We zien dat \(x\to-3\) correspondeert met \(y\to \sqrt[3]{ -3 + 30 } = \sqrt[3]{27} = 3\). De gevraagde limiet is dus gelijk aan \[\begin{aligned}\lim_{x\to -3} \frac{-2 x - 6}{\sqrt[3]{x + 30 } - 3} &= \lim_{y\to 3} \frac{-2 y^3 + 54}{y-3} \\[0.25cm]&= -2 \cdot\lim_{y\to 3} \frac{y^3-27}{y-3} \\[0.25cm] &=-2 \cdot\lim_{y\to 3} \frac{\left(y-3\right) \left( y^2 +3 y +9 \right)}{y-3} \\[0.25cm] &=-2 \cdot\lim_{y\to 3} \left( y^2 +3 y +9 \right) \\[0.25cm] &= -54 \end{aligned}\]
In de volgende paragraaf zullen we dieper ingaan op eenzijdige limieten.
