Substitutie

Limieten van functies: Technieken

Substitutie

Herinner je dat er voor continue functies $f$ geldt dat

$\lim_{y\to a} f\left(g(y)\right) = f\left( \lim_{y\to a} g(y)\right)$ Wanneer we dit tweemaal toepassen zien we dat

$\lim_{y\to a} f\left(g(y)\right) = f\left( \lim_{y\to a} g(y) \right) = \lim_{x \to \lim_{y\to a} g(y)} f(x)$

Substituties zijn handig om limieten van samenstellingen uit te rekenen. Als we nu een gegeven limiet $\lim_{x\to b} f(x)$ hebben dan kunnen we ook zelf een functie $g$ en een punt $a$ kiezen die voldoet aan $\lim_{y\to a} g(y) = b$ . Vervolgens krijgen we:

$\lim_{x \to b} f(x) = \lim_{y\to a} f\left(g(y)\right)$ Substitutie werkt ook voor limieten naar $\pm\infty$ .

In de volgende twee voorbeelden rekenen we limieten uit met behulp van substituties:

Er geldt

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left( \cos\left( x \right) \right)}{\cos(x)} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$

In dit geval hebben we $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ en $g(y) = \cos(y)$ .
Verder hebben we $a = \frac{\pi}{2}$ en $b = \lim_{y\to a} g(y) = \lim_{y\to\frac{\pi}{2}}\cos(y) = 0$ .

Bereken

$\lim_{x\to 3} \frac{-3 x +9}{\sqrt[3]{x -4 } +1}$

$\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{-3 x +9}{\sqrt[3]{x -4 } +1}={}$ $-9$

We hebben hier een limiet van de onbepaalde vorm $\frac{0}{0}$ . We substitueren $y = \sqrt[3]{ x -4 }$ . Dit geeft $y^3 = x -4$ , oftewel $x = y^3 +4$ . De functie wordt dan

$\frac{-3 x +9}{\sqrt[3]{x -4 } +1} = \frac{-3 y^3 -3}{y+1}$ We zien dat $x\to3$ correspondeert met $y\to \sqrt[3]{ 3 -4 } = \sqrt[3]{-1} = -1$ . De gevraagde limiet is dus gelijk aan

$\begin{aligned}\lim_{x\to 3} \frac{-3 x +9}{\sqrt[3]{x -4 } +1} &= \lim_{y\to -1} \frac{-3 y^3 -3}{y+1} \\[0.25cm]&= -3 \cdot\lim_{y\to -1} \frac{y^3+1}{y+1} \\[0.25cm] &=-3 \cdot\lim_{y\to -1} \frac{\left(y+1\right) \left( y^2 -y +1 \right)}{y+1} \\[0.25cm] &=-3 \cdot\lim_{y\to -1} \left( y^2 -y +1 \right) \\[0.25cm] &= -9 \end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

In de volgende paragraaf zullen we dieper ingaan op eenzijdige limieten.