Limieten van functies: Technieken
Substitutie
Herinner je dat er voor continue functies \(f\) geldt dat \[ \lim_{y\to a} f\left(g(y)\right) = f\left( \lim_{y\to a} g(y)\right) \] Wanneer we dit tweemaal toepassen zien we dat \[ \lim_{y\to a} f\left(g(y)\right) = f\left( \lim_{y\to a} g(y) \right) = \lim_{x \to \lim_{y\to a} g(y)} f(x)\]
Substituties zijn handig om limieten van samenstellingen uit te rekenen. Als we nu een gegeven limiet \(\lim_{x\to b} f(x)\) hebben dan kunnen we ook zelf een functie \(g\) en een punt \(a\) kiezen die voldoet aan \(\lim_{y\to a} g(y) = b\). Vervolgens krijgen we: \[ \lim_{x \to b} f(x) = \lim_{y\to a} f\left(g(y)\right) \] Substitutie werkt ook voor limieten naar \(\pm\infty\).
In de volgende twee voorbeelden rekenen we limieten uit met behulp van substituties:
Er geldt \[ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left( \cos\left( x \right) \right)}{\cos(x)} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \]
\(\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{3 x - 9}{\sqrt[3]{x -4 } +1}={}\)\(9\)
We hebben hier een limiet van de onbepaalde vorm \(\frac{0}{0}\). We substitueren \(y = \sqrt[3]{ x -4 } \). Dit geeft \(y^3 = x -4\), oftewel \(x = y^3 +4\). De functie wordt dan \[ \frac{3 x - 9}{\sqrt[3]{x -4 } +1} = \frac{3 y^3 + 3}{y+1} \] We zien dat \(x\to3\) correspondeert met \(y\to \sqrt[3]{ 3 -4 } = \sqrt[3]{-1} = -1\). De gevraagde limiet is dus gelijk aan \[\begin{aligned}\lim_{x\to 3} \frac{3 x - 9}{\sqrt[3]{x -4 } +1} &= \lim_{y\to -1} \frac{3 y^3 + 3}{y+1} \\[0.25cm]&= 3 \cdot\lim_{y\to -1} \frac{y^3+1}{y+1} \\[0.25cm] &=3 \cdot\lim_{y\to -1} \frac{\left(y+1\right) \left( y^2 -y +1 \right)}{y+1} \\[0.25cm] &=3 \cdot\lim_{y\to -1} \left( y^2 -y +1 \right) \\[0.25cm] &= 9 \end{aligned}\]
In de volgende paragraaf zullen we dieper ingaan op eenzijdige limieten.
