Substitutie en eenzijdige limieten

Limieten van functies: Technieken

Substitutie en eenzijdige limieten

We hebben net de substitutiemethode bestudeerd. In deze paragraaf zullen we dieper ingaan op eenzijdige limieten.

Stel dat we voor een zekere $f$ de limiet

$\lim_{x\to 0} f(x)$ willen uitrekenen. Het lijkt logisch om $y = \frac{1}{x}$ te substitueren en dan de limiet voor $y\to\infty$ te bepalen. Het probleem hierbij is echter dat de $\frac{1}{x}$ nu $0$ alleen van boven nadert, dus dit hoort bij $\lim_{x\downarrow 0}$ . De limiet verandert dus ongewenst in een eenzijdige limiet:

$\lim_{x\downarrow 0} f(x) = \lim_{y\to\infty} f\left(\dfrac{1}{y}\right)$ Om zeker te weten dat de limiet $\lim_{x\to 0}f(x)$ bestaat moet ook nog $\lim_{x\uparrow 0} f(x)$ worden bepaald. Een optie zou zijn om $z = -\frac{1}{x}$ te substitueren om de linkerlimiet uit te rekenen.

Bekijk de limiet

$\lim_{x\downarrow 0} \sqrt[x]{1+x} = \lim_{x\downarrow 0}\left( 1+x \right)^\frac{1}{x}$
Wanneer we $y = \frac{1}{x}$ substitueren verandert dit in

$\lim_{y\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{y}\right)^y$ Dit is een standaardlimiet met waarde $e$ .

In dit voorbeeld geldt dat

$f(x) = \sqrt[x]{1+x}, \qquad g(y) = \frac{1}{y}, \qquad a = \infty, \qquad b = 0$ in de substitutieregel. De reden dat $b = 0$ is dat $\frac{1}{y}$ nul van boven nadert als $y$ groot wordt. Als je de functie $\frac{1}{y}$ substitueert en je iets wilt zeggen over de limiet naar nul, moet je dus zowel het gedrag bij $\infty$ als $-\infty$ bestuderen.