Limieten van functies: Technieken
Substitutie en eenzijdige limieten
We hebben net de substitutiemethode bestudeerd. In deze paragraaf zullen we dieper ingaan op eenzijdige limieten.
Stel dat we voor een zekere \(f\) de limiet \[ \lim_{x\to 0} f(x)\] willen uitrekenen. Het lijkt logisch om \(y = \frac{1}{x}\) te substitueren en dan de limiet voor \(y\to\infty\) te bepalen. Het probleem hierbij is echter dat de \(\frac{1}{x}\) nu \(0\) alleen van boven nadert, dus dit hoort bij \(\lim_{x\downarrow 0}\). De limiet verandert dus ongewenst in een eenzijdige limiet:\[ \lim_{x\downarrow 0} f(x) = \lim_{y\to\infty} f\left(\dfrac{1}{y}\right)\] Om zeker te weten dat de limiet \(\lim_{x\to 0}f(x)\) bestaat moet ook nog \(\lim_{x\uparrow 0} f(x) \) worden bepaald. Een optie zou zijn om \( z = -\frac{1}{x}\) te substitueren om de linkerlimiet uit te rekenen.
Bekijk de limiet \[ \lim_{x\downarrow 0} \sqrt[x]{1+x} = \lim_{x\downarrow 0}\left( 1+x \right)^\frac{1}{x}\]
Wanneer we \(y = \frac{1}{x}\) substitueren verandert dit in \[ \lim_{y\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{y}\right)^y\] Dit is een standaardlimiet met waarde \(e\).
In dit voorbeeld geldt dat \[f(x) = \sqrt[x]{1+x}, \qquad g(y) = \frac{1}{y}, \qquad a = \infty, \qquad b = 0\] in de substitutieregel. De reden dat \(b = 0\) is dat \(\frac{1}{y}\) nul van boven nadert als \(y\) groot wordt. Als je de functie \( \frac{1}{y}\) substitueert en je iets wilt zeggen over de limiet naar nul, moet je dus zowel het gedrag bij \(\infty\) als \(-\infty\) bestuderen.