Oneigenlijke integralen: Oneigenlijke integralen
Oneigenlijke integralen van type 1
Laat \(f(x)\) een gegeven integrand zijn en \(F(x)\) een primitieve van \(f(x)\). We bekijken drie gevallen van integratiegebieden met oneindige lengte.
Als \(f(x)\) continu is op het interval \([a,\infty)\) en als \( \displaystyle \lim_{N\to\infty} F(N)\) bestaat, dan is \[\int_a^{\infty} f(x)\,\dd x = \lim_{N\to\infty} \int_a^{N} f(x)\,\dd x = \lim_{N\to\infty} F(N) - F(a)\tiny.\]
Als \(f(x)\) continu is op het interval \((-\infty,b]\) en als \( \displaystyle \lim_{M\to -\infty} F(M)\) bestaat, dan is \[\int_{-\infty}^b f(x)\,\dd x = \lim_{M\to -\infty} \int_M^b f(x)\,\dd x = F(b) - \lim_{M\to -\infty} F(M)\tiny.\]
Als \(f(x)\) continu is op het interval \((-\infty,\infty)\), als de limieten \(\displaystyle \lim_{N\to \infty} F(N)\) en \( \displaystyle \lim_{M\to -\infty} F(M)\) bestaan en minstens één van beide eindig is, dan is \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\dd x = \lim_{M\to-\infty} \lim_{N\to \infty} \int_M^{N} f(x)\,\dd x = \lim_{N\to \infty} F(N) - \lim_{M\to -\infty} F(M)\tiny.\]
Enkele voorbeelden ter illustratie.
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,\dd x=\infty\] want \(\displaystyle\int_1^N\frac{1}{x}\,\dd x=\bigl[\ln(x)\bigr]_1^N=\ln(N)\) en \(\displaystyle \lim_{N\to\infty}\ln(N)=\infty\).
