Oneigenlijke integralen van type 1

Oneigenlijke integralen: Oneigenlijke integralen

Oneigenlijke integralen van type 1

Laat $f(x)$ een gegeven integrand zijn en $F(x)$ een primitieve van $f(x)$ . We bekijken drie gevallen van integratiegebieden met oneindige lengte.

Als $f(x)$ continu is op het interval $[a,\infty)$ en als $\displaystyle \lim_{N\to\infty} F(N)$ bestaat, dan is

$\int_a^{\infty} f(x)\,\dd x = \lim_{N\to\infty} \int_a^{N} f(x)\,\dd x = \lim_{N\to\infty} F(N) - F(a)\tiny.$

Als $f(x)$ continu is op het interval $(-\infty,b]$ en als $\displaystyle \lim_{M\to -\infty} F(M)$ bestaat, dan is

$\int_{-\infty}^b f(x)\,\dd x = \lim_{M\to -\infty} \int_M^b f(x)\,\dd x = F(b) - \lim_{M\to -\infty} F(M)\tiny.$

Als $f(x)$ continu is op het interval $(-\infty,\infty)$ , als de limieten $\displaystyle \lim_{N\to \infty} F(N)$ en $\displaystyle \lim_{M\to -\infty} F(M)$ bestaan en minstens één van beide eindig is, dan is

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\dd x = \lim_{M\to-\infty} \lim_{N\to \infty} \int_M^{N} f(x)\,\dd x = \lim_{N\to \infty} F(N) - \lim_{M\to -\infty} F(M)\tiny.$

Enkele voorbeelden ter illustratie.

Bereken de volgende oneigenlijke integraal als deze bestaat:

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,\dd x$

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,\dd x={}$ $\infty$

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,\dd x=\infty$ want $\displaystyle\int_1^N\frac{1}{x}\,\dd x=\bigl[\ln(x)\bigr]_1^N=\ln(N)$ en $\displaystyle \lim_{N\to\infty}\ln(N)=\infty$ .

Nieuw voorbeeld