Oneigenlijke integralen van type 2

Oneigenlijke integralen: Oneigenlijke integralen

Oneigenlijke integralen van type 2

Laat $f(x)$ een gegeven integrand zijn en $F(x)$ een primitieve van $f(x)$ . We bekijken drie gevallen van integratiegebieden met $f(x)$ onbegrensd nabij minstens één van de randpunten.

Als $f(x)$ continu is op het interval $[a,b)$ en als $\displaystyle \lim_{v\uparrow b} F(v)$ bestaat, dan is $\int_a^b f(x)\,\dd x = \lim_{v\uparrow b} \int_a^{v} f(x)\,\dd x= \lim_{v\uparrow b} F(v) - F(a)$

Als $f(x)$ continu is op het interval $(a,b]$ en als $\displaystyle \lim_{u\downarrow a} F(u)$ bestaat, dan is $\int_a^b f(x)\,\dd x= \lim_{u\downarrow a} \int_{u}^b f(x)\,\dd x= F(b) - \lim_{u\downarrow a} F(u)$

Als $f(x)$ continu is op het interval $(a,b)$ en als de twee limieten $\displaystyle \lim_{v\uparrow b} F(v)$ en $\displaystyle \lim_{u\downarrow a} F(u)$ bestaan en als minstens één van beide eindig is, dan is $\int_a^b f(x)\,\dd x = \lim_{v\downarrow a} \lim_{u\uparrow b} \int_u^v f(x)\,\dd x= \lim_{v\uparrow b} F(v) - \lim_{u\downarrow a} F(u).$

Bereken de volgende oneigenlijke integraal als deze bestaat. $\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\dd x$

$\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\dd x={}$ $2\sqrt{2}$

$\begin{aligned}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\dd x&= \lim_{u\downarrow 0}\int_{u}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\dd x\\ \\ &= \lim_{u\downarrow 0}\Bigl[2\sqrt{x}\Bigr]_u^{2}\\ \\ &= \lim_{u\downarrow 0}\left(2\sqrt{2} -2\sqrt{u}\right)\\ \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Bereken de volgende oneigenlijke integraal als deze bestaat $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dd x$

Oplossing
$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dd x=\pi$

$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dd x&= \lim_{u\downarrow -1}\lim_{v\uparrow 1} \int_u^{v} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dd x\\ \\ &= \lim_{u\downarrow -1} \lim_{v\uparrow 1}\bigl [\arcsin x\bigr ]_{u}^{v}\\ \\ &= \lim_{v\uparrow 1}\arcsin v - \lim_{u\downarrow -1}\arcsin u\\ \\ &=\frac{\pi}{2}- (-\frac{\pi}{2}) = \pi\end{aligned}$