Oneigenlijke integralen: Oneigenlijke integralen
Oneigenlijke integralen van type 2
Laat \(f(x)\) een gegeven integrand zijn en \(F(x)\) een primitieve van \(f(x)\). We bekijken drie gevallen van integratiegebieden met \(f(x)\) onbegrensd nabij minstens één van de randpunten.
Als \(f(x)\) continu is op het interval \([a,b)\) en als \( \displaystyle \lim_{v\uparrow b} F(v)\) bestaat, dan is \[\int_a^b f(x)\,\dd x = \lim_{v\uparrow b} \int_a^{v} f(x)\,\dd x= \lim_{v\uparrow b} F(v) - F(a)\]
Als \(f(x)\) continu is op het interval \((a,b]\) en als \( \displaystyle \lim_{u\downarrow a} F(u)\) bestaat, dan is \[\int_a^b f(x)\,\dd x= \lim_{u\downarrow a} \int_{u}^b f(x)\,\dd x= F(b) - \lim_{u\downarrow a} F(u)\]
Als \(f(x)\) continu is op het interval \((a,b)\) en als de twee limieten \(\displaystyle \lim_{v\uparrow b} F(v)\) en \(\displaystyle \lim_{u\downarrow a} F(u)\) bestaan en als minstens één van beide eindig is, dan is \[\int_a^b f(x)\,\dd x = \lim_{v\downarrow a} \lim_{u\uparrow b} \int_u^v f(x)\,\dd x= \lim_{v\uparrow b} F(v) - \lim_{u\downarrow a} F(u).\]
\[\begin{aligned}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\dd x&= \lim_{u\downarrow 0}\int_{u}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\dd x\\ \\ &= \lim_{u\downarrow 0}\Bigl[2\sqrt{x}\Bigr]_u^{2}\\ \\ &= \lim_{u\downarrow 0}\left(2\sqrt{2} -2\sqrt{u}\right)\\ \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned} \]
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dd x=\pi\)
\[\begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dd x&= \lim_{u\downarrow -1}\lim_{v\uparrow 1} \int_u^{v} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dd x\\ \\ &= \lim_{u\downarrow -1} \lim_{v\uparrow 1}\bigl [\arcsin x\bigr ]_{u}^{v}\\ \\ &= \lim_{v\uparrow 1}\arcsin v - \lim_{u\downarrow -1}\arcsin u\\ \\ &=\frac{\pi}{2}- (-\frac{\pi}{2}) = \pi\end{aligned}\]
