In deze paragraaf bekijken we de rij gegeven door $s_k = \sum_{n=1}^k \frac{1}{n}$. Dit betekent dat

$$\begin{aligned} s_1 &= 1 \\ s_2 &= 1 + \frac{1}{2} \\ s_3 &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\text, \end{aligned}$$ enzovoorts. De losse termen van deze som, $\frac{1}{n}$, convergeren naar nul als $n\to \infty$, maar we zullen zien dat $\lim_{k\to\infty} s_k = \infty$, oftewel $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty\text.$$ Deze standaardreeks heet de harmonische reeks.

We groeperen de termen in de oneindige som op de volgende manier:

$$1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\text{eerste blok}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{\text{tweede blok}} + \underbrace{\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}}_{\text{derde blok}} + \dots$$ De $1$ en de $\tfrac 12$ laten we staan en vervolgens maken we blokken die steeds twee keer zo groot worden. Omdat $\tfrac 1n$ daalt is de som van opeenvolgende termen minder dan de laatste term vermenigvuldigd met het aantal elementen in een blok. Voor het eerste blok hebben we bijvoorbeeld $$\frac 13 + \frac 14 > 2 \cdot \frac 14 = \frac 12$$ en voor het tweede blok krijgen we net zo $$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}> 4 \cdot \frac 18 = \frac 12\text.$$ We zien dat de som van de termen binnen een blok altijd minstens $\tfrac 12$ is. $$1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\gt \tfrac 12} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{\gt \tfrac 12} + \underbrace{\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}}_{\gt\tfrac 12} + \dots$$ Voor elke $M > 0$ bestaat er dus een $K$ zodat $s_k > M$ voor alle $k > K$. Dit betekent dat $\lim_{k\to\infty} s_k = \infty$, oftewel $$\sum_{n=1}^\infty \frac 1n = \infty\text.$$

Algemener is het zo dat de reeks

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$$ alleen convergeert als $p > 1$. Dit zal bewezen worden in de theoriepagina getiteld Het integraalkenmerk.