In deze paragraaf bekijken we de rij gegeven door \(s_k = \sum_{n=1}^k \frac{1}{n}\). Dit betekent dat \[ \begin{aligned} s_1 &= 1 \\ s_2 &= 1 + \frac{1}{2} \\ s_3 &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\text, \end{aligned} \] enzovoorts. De losse termen van deze som, \(\frac{1}{n}\), convergeren naar nul als \(n\to \infty\), maar we zullen zien dat \(\lim_{k\to\infty} s_k = \infty\), oftewel \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty\text. \] Deze standaardreeks heet de harmonische reeks.

We groeperen de termen in de oneindige som op de volgende manier: \[ 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\text{eerste blok}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{\text{tweede blok}} + \underbrace{\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}}_{\text{derde blok}} + \dots \] De \(1\) en de \(\tfrac 12\) laten we staan en vervolgens maken we blokken die steeds twee keer zo groot worden. Omdat \(\tfrac 1n\) daalt is de som van opeenvolgende termen minder dan de laatste term vermenigvuldigd met het aantal elementen in een blok. Voor het eerste blok hebben we bijvoorbeeld \[ \frac 13 + \frac 14 > 2 \cdot \frac 14 = \frac 12\] en voor het tweede blok krijgen we net zo \[ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}> 4 \cdot \frac 18 = \frac 12\text. \] We zien dat de som van de termen binnen een blok altijd minstens \(\tfrac 12\) is. \[ 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\gt \tfrac 12} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{\gt \tfrac 12} + \underbrace{\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}}_{\gt\tfrac 12} + \dots \] Voor elke \(M > 0\) bestaat er dus een \(K\) zodat \(s_k > M\) voor alle \(k > K\). Dit betekent dat \(\lim_{k\to\infty} s_k = \infty\), oftewel \[ \sum_{n=1}^\infty \frac 1n = \infty\text. \]

Algemener is het zo dat de reeks \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \] alleen convergeert als \(p > 1\). Dit zal bewezen worden in de theoriepagina getiteld Het integraalkenmerk.