Meetkundige reeksen

Reeksen: Standaardreeksen

Meetkundige reeksen

In het hoofdstuk Limieten van rijen hebben we meetkundige rijen bestudeerd:

Een meetkundige rij is een rij waarvoor er een constante $r$ is zodat $a_{n+1} = r\cdot a_n$ voor alle $n$ .

Er geldt dus $a_n = a_0 r^n$ . De reeks van een meetkundige rij heet een meetkundige reeks. In de laatste opgave hebben we al een meetkundige reeks gezien:

In deze figuur wordt $s_n = \frac 12 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^n$ weergegeven voor $n$ tussen en $1$ en $10$ .

Wat is de waarde van de reeks

$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n \text?$

Het gedeelte van de cirkel dat wit is wordt in elke volgende stap twee keer zo klein. Dit betekent dat de oppervlakte van het witte gedeelte van de cirkel naar nul convergeert, dus de oppervlakte van het blauwe gedeelte convergeert naar $1$ . Het antwoord is dus

$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1\text.$

Nieuw voorbeeld

Als we $a_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$ zouden toevoegen aan het begin van de rij dan krijgen we $\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2} \right)^n = 2$ .
De volgende formule veralgemeniseert dit resultaat:

Voor $|r|<1$ geldt

$\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}\text.$

Door de haakjes uit te werken zien we dat

$\left(1-r\right)\left( 1 + r + r^2 + \dots + r^n\right) = 1 - r^{n+1}\text,$ want alle andere termen vallen tegen elkaar weg. Dit betekent dat de partiële sommen gelijk zijn aan

$\sum_{k=0}^n r^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}\text,$ en omdat $|r|<1$ is $\lim_{n\to\infty} r^{n+1}=0$ dus de teller convergeert naar $1$ . De partiële sommen convergeren dus naar $\frac{1}{1-r}$ .