Minima, maxima, infima en suprema

Reeksen: Introductie

Minima, maxima, infima en suprema

Voor verzamelingen $A\subseteq\mathbb R$ definiëren we het maximum en het minimum als volgt:

Het maximum van $A$ is een element $x\in A$ zodat $y\leq x$ voor alle $y\in A$ .
Het minimum van $A$ is een element $x\in A$ zodat $y\geq x$ voor alle $y\in A$ .

Je kunt laten zien dat elke $A$ hoogstens 1 maximum en 1 minimum heeft. Niet elke deelverzameling heeft echter een maximum of minimum.

Het open interval $(0,1) = \{x\in \mathbb R : 0 < x < 1\}$ heeft geen maximum en geen minimum.

De crux is dat $0$ en $1$ niet in $(0,1)$ voorkomen en dit daarom geen minimum en maximum kunnen zijn.

Voor elke $x\in (0,1)$ is $\tfrac 12 \cdot x$ een kleiner getal in $(0,1)$ . Geen enkel getal $x$ is dus het kleinste getal in de verzameling, want er is altijd een nog kleiner getal te vinden.

Op dezelfde manier is $\tfrac{1}{2}\cdot (1+x)$ een getal in $(0,1)$ dat groter is dan $x$ . De verzameling heeft dus ook geen maximum.

In het voorbeeld zien we dat $0$ niet het minimum van deze verzameling is, omdat $0$ geen element is van $(0,1)$ . Op dezelfde manier is $1$ niet het maximum van $(0,1)$ . Om toch de bijzondere rol van $0$ en $1$ uit te drukken introduceren we de begrippen infimum en supremum.

Een getal $M$ is een ondergrens voor $A$ als $x \geq M$ voor alle $x\in A$ .
Een getal $M$ is een bovengrens voor $A$ als $x \leq M$ voor alle $x\in A$ .

Het infimum $\inf(A)$ van een begrensde verzameling $A$ is de grootste ondergrens van $A$ .
Het supremum $\sup(A)$ van een begrensde verzameling $A$ is de kleinste bovengrens van $A$ .

Wanneer we teruggaan naar ons voorbeeld zien we dat deze waarden wel bestaan.

Er geldt $\inf (0,1) = 0$ en $\sup (0,1) = 1$ .

Per definitie geldt $x > 0$ voor alle $x\in (0,1)$ , dus het getal $0$ is een ondergrens voor ons interval. Stel dat er een grotere ondergrens $L > 0$ zou zijn. Omdat $L > 0$ geldt $\tfrac 12 \cdot L \in (0,1)$ en omdat $\tfrac{1}{2} \cdot L < L$ kan $L$ dus geen ondergrens van de hele verzameling zijn. Dit is in tegenspraak met de aanname. We concluderen dat $0$ de grootste ondergrens is.

Op dezelfde manier kun je bewijzen dat $1$ de kleinste bovengrens is.

In de definities van het infimum en supremum nemen we aan dat $A$ een begrensde verzameling is. Als $A$ onbegrensd is van boven schrijven we $\sup(A) = \infty$ en wanneer $A$ willekeurig kleine elementen bevat schrijven we $\inf(A) = -\infty$ . Met deze conventies bestaan het infimum en supremum van een deelverzameling van $\mathbb R$ altijd. Je zou het infimum kunnen opvatten als een soort minimum dat niet in de verzameling hoeft te zitten. Net zo kun je het supremum zien als een soort maximum dat geen element hoeft te zijn van de verzameling.

We sluiten deze paragraaf af met een paar voorbeelden.

Voor $A = [0,1]$ hebben we $\inf(A) = \min(A) = 0$ en $\sup(A) = \max(A) = 1$ .

Voor $B = (-\infty,1]$ geldt $\inf(B) = -\infty$ en $\sup(B) = \max(B) = 1$ . Er is geen minimum.

Voor $C = \{x\in\mathbb Q : x > 0 \text{ en } x^2 < 2\}$ hebben we $\inf(C) = \min(C) = 0$ en $\sup(C) = \sqrt 2$ . Omdat $\sqrt 2\not\in\mathbb Q$ is er geen maximum.