Reeksen: Convergentiecriteria
Het vergelijkingscriterium
Net zoals gewone limieten kunnen we reeksen afschatten. De volgende twee stellingen worden samen het vergelijkingscriterium genoemd.
Het vergelijkingscriterium (1)Zij \(\textstyle\sum a_n\) en \(\textstyle\sum b_n\) reeksen waarbij \(a_n\geq 0\) voor alle \(n\). Als \(\textstyle\sum a_n\) convergeert en \(|b_n|\leq a_n\) voor alle \(n\) dan convergeert \(\textstyle\sum b_n\) ook.
Het vergelijkingscriterium (2)Zij \(\textstyle\sum a_n\) en \(\textstyle\sum b_n\) reeksen. Als \(\textstyle\sum a_n = \infty\) en \(b_n\geq a_n\) voor alle \(n\) dan geldt \(\textstyle\sum b_n = \infty\).
Met het eerste deel van het vergelijkingscriterium kun je bewijzen dat een reeks convergeert, terwijl de tweede stelling juist gebruikt kan worden om te laten zien dat een reeks divergeert.
De reeks \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}\) divergeert. Er geldt namelijk \[ \frac{1}{2n+1} > \frac{1}{2n+n} = \frac{1}{3n} \] en \(\textstyle\sum \frac{1}{3n} = \frac{1}{3} \sum \frac{1}{n}\) divergeert.