Het vergelijkingscriterium

Reeksen: Convergentiecriteria

Het vergelijkingscriterium

Net zoals gewone limieten kunnen we reeksen afschatten. De volgende twee stellingen worden samen het vergelijkingscriterium genoemd.

Het vergelijkingscriterium (1)Zij \(\textstyle\sum a_n\) en \(\textstyle\sum b_n\) reeksen waarbij \(a_n\geq 0\) voor alle \(n\). Als \(\textstyle\sum a_n\) convergeert en \(|b_n|\leq a_n\) voor alle \(n\) dan convergeert \(\textstyle\sum b_n\) ook.

Zij \(\epsilon>0\) gegeven. Doordat \(\textstyle\sum a_n\) voldoet aan het Cauchy-criterium is er een \(N\) zodat \(\left|\sum_{k=m}^n a_k\right|<\epsilon\) voor \(n,m\geq N\). Er geldt nu \[ \left| \sum_{k=n}^m b_k \right| \leq \sum_{k=n}^m \left| b_k \right| \leq \sum_{k=n}^m a_k\text,\] dus de reeks \(\sum b_n\) voldoet ook aan het Cauchy-criterium. Dit betekent dat de reeks convergeert.

Het vergelijkingscriterium (2)Zij \(\textstyle\sum a_n\) en \(\textstyle\sum b_n\) reeksen. Als \(\textstyle\sum a_n = \infty\) en \(b_n\geq a_n\) voor alle \(n\) dan geldt \(\textstyle\sum b_n = \infty\).

Als \(b_n\geq a_n\) voor alle \(n\) dan hebben we voor de partiële sommen dat \[ \sum_{k=1}^n b_k \geq \sum_{k=1}^n a_k \text, \] dus voor de limieten hebben we dan \[ \sum b_n = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n b_k \geq \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k = \sum a_n = \infty\text. \]

Met het eerste deel van het vergelijkingscriterium kun je bewijzen dat een reeks convergeert, terwijl de tweede stelling juist gebruikt kan worden om te laten zien dat een reeks divergeert.

De reeks \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}\) divergeert. Er geldt namelijk \[ \frac{1}{2n+1} > \frac{1}{2n+n} = \frac{1}{3n} \] en \(\textstyle\sum \frac{1}{3n} = \frac{1}{3} \sum \frac{1}{n}\) divergeert.