Het wortelcriterium

Reeksen: Convergentiecriteria

Het wortelcriterium

In deze paragraaf behandelen we een ander criterium waarmee je kunt bepalen of een reeks convergeert. Net zoals het vergelijkingscriterium bestaat de stelling uit twee delen.

Zij \(\textstyle\sum a_n\) een reeks en definieer \(\alpha = \limsup \sqrt[n]{|a_n|}\).
(1) Als \(\alpha < 1\) dan convergeert de reeks.
(2) Als \(\alpha > 1\) dan divergeert de reeks.

(1) Als \(\alpha < 1\) dan is er een \(\epsilon > 0\) zodat \(\sqrt[n]{|a_n|} < 1-\epsilon\) voor voldoende grote \(n\). Dit betekent dat \(|a_n| \leq (1-\epsilon)^n\). Omdat \(1-\epsilon < 1\) convergeert de reeks \(\textstyle \sum (1-\epsilon)^n\). Volgens het vergelijkingscriterium convergeert \(\textstyle\sum a_n\) nu ook.

(2) Als \(\alpha > 1\) dan geldt \(\sqrt[n]{|a_n|}>1\) voor oneindig veel \(n\in\mathbb{N}\). Dit betekent dat \(|a_n|>1\) voor oneindig veel \(n\in\mathbb{N}\) dus de termen van de reeks convergeren niet naar nul. De reeks kan dus niet convergeren.

Voor \(a_n = \frac{3+\cos(n)}{2^n}\) hebben we \[ \alpha = \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{3+\cos(n)}{2^n}\right|^\frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{2^n}\right)^\frac{1}{n}=\frac{1}{2}<1\text. \]De reeks \(\textstyle \sum a_n\) convergeert dus.

Merk op dat het wortelcriterium niets zegt wanneer \(\alpha = 1\). Het criterium geeft dan geen informatie.

Voor \(a_n = \frac{1}{n}\) geldt \(\alpha = 1\), en ook voor de rij \(b_n = \frac{(-1)^n}{n}\) geldt \(\alpha = 1\). We hebben al gezien dat \(\sum \frac{1}{n} = \infty\) en we zullen later zien dat \(\sum\frac{(-1)^n}{n}\) wél convergeert. Wanneer \(\alpha = 1\) kun je dus geen conclusies trekken over convergentie van de reeks.