Het wortelcriterium

Reeksen: Convergentiecriteria

Het wortelcriterium

In deze paragraaf behandelen we een ander criterium waarmee je kunt bepalen of een reeks convergeert. Net zoals het vergelijkingscriterium bestaat de stelling uit twee delen.

Zij $\textstyle\sum a_n$ een reeks en definieer $\alpha = \limsup \sqrt[n]{|a_n|}$ .
(1) Als $\alpha < 1$ dan convergeert de reeks.
(2) Als $\alpha > 1$ dan divergeert de reeks.

(1) Als $\alpha < 1$ dan is er een $\epsilon > 0$ zodat $\sqrt[n]{|a_n|} < 1-\epsilon$ voor voldoende grote $n$ . Dit betekent dat $|a_n| \leq (1-\epsilon)^n$ . Omdat $1-\epsilon < 1$ convergeert de reeks $\textstyle \sum (1-\epsilon)^n$ . Volgens het vergelijkingscriterium convergeert $\textstyle\sum a_n$ nu ook.

(2) Als $\alpha > 1$ dan geldt $\sqrt[n]{|a_n|}>1$ voor oneindig veel $n\in\mathbb{N}$ . Dit betekent dat $|a_n|>1$ voor oneindig veel $n\in\mathbb{N}$ dus de termen van de reeks convergeren niet naar nul. De reeks kan dus niet convergeren.

Voor $a_n = \frac{3+\cos(n)}{2^n}$ hebben we

$\alpha = \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{3+\cos(n)}{2^n}\right|^\frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{2^n}\right)^\frac{1}{n}=\frac{1}{2}<1\text.$ De reeks $\textstyle \sum a_n$ convergeert dus.

Merk op dat het wortelcriterium niets zegt wanneer $\alpha = 1$ . Het criterium geeft dan geen informatie.

Voor $a_n = \frac{1}{n}$ geldt $\alpha = 1$ , en ook voor de rij $b_n = \frac{(-1)^n}{n}$ geldt $\alpha = 1$ . We hebben al gezien dat $\sum \frac{1}{n} = \infty$ en we zullen later zien dat $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ wél convergeert. Wanneer $\alpha = 1$ kun je dus geen conclusies trekken over convergentie van de reeks.