Het quotiëntcriterium

Reeksen: Convergentiecriteria

Het quotiëntcriterium

Voor sommige rijen is het lastig om $\alpha = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ uit te rekenen. Voor alle positieve rijen $a_n \geq 0$ zijn de volgende ongelijkheden waar:

$\liminf_{n\to\infty}\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \liminf_{n\to\infty}\ \sqrt[n]{a_n} \leq \limsup_{n\to\infty}\ \sqrt[n]{a_n} \leq \limsup_{n\to\infty}\ \frac{a_{n+1}}{a_n}$

Wanneer we dit toepassen op de positieve rij $|a_n|$ kunnen we met behulp van het wortelcriterium een nieuw criterium opstellen:

Zij $\textstyle\sum a_n$ een reeks.
(1) Als $\textstyle\limsup \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ dan convergeert de reeks.
(2) Als $\textstyle\liminf \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1$ dan divergeert de reeks.

(1) Als $\textstyle\limsup \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ dan geldt ook $\limsup_{n\to\infty}\ \sqrt[n]{a_n}<1$ dus de reeks convergeert volgens het wortelcriterium.

(2) Als $\textstyle\liminf \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1$ dan geldt ook $\limsup_{n\to\infty}\ \sqrt[n]{a_n}>1$ dus dan divergeert de reeks volgens het wortelcriterium.

Het quotiëntcriterium is zwakker dan het wortelcriterium: er zijn reeksen waarbij het wortelcriterium wel werkt maar het quotiëntcriterium geen informatie geeft. Andersom, wanneer het quotiëntcriterium toegepast kan worden zou wel altijd het wortelcriterium kunnen worden gebruikt. Toch kan dit criterium helpen wanneer $\textstyle\liminf \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ en $\textstyle\limsup \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ makkelijker uit te rekenen zijn dan $\alpha$ .