In de paragraaf over de harmonische reeks hebben we gezien dat \(\textstyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty\) en werd geclaimd dat de reeks \(\textstyle\sum \frac{1}{n^p}\) precies convergeert als \(p > 1\). Er wordt nu een convergentiecriterium geïntroduceerd waarmee dit bewezen wordt.

Als voorbeeld bekijken we eerst de reeks voor \(p = 1.1\). We analyseren dus \(\textstyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) met \(\textstyle a_n = \frac{1}{n^{1.1}}\). De volgende figuur geeft de functie \(\textstyle f(x) = \frac{1}{x^{1.1}}\) weer. Onder de grafiek zijn rechthoeken toegevoegd tussen de \(x\)-as en de grafiek.

De eerste rechthoek heeft oppervlakte \(a_2\), want de breedte is \(1\) en de hoogte is \(f(2)=\tfrac{1}{1.1^2}\). Op dezelfde manier is de oppervlakte van de tweede rechthoek \(a_3\), de oppervlakte van de derde rechthoek \(a_4\), etc. We weten dat \(\int_1^\infty f(x)\ \mathrm{d} x\) gelijk is aan de totale oppervlakte onder de grafiek van \(f\) vanaf \(x=1\). Omdat de oppervlakte van alle rechthoeken samen minder is dan de oppervlakte onder de grafiek geldt \[ \sum_{n=2}^\infty \tfrac{1}{n^{1.1}} \leq \int_1^\infty \tfrac{1}{x^{1.1}}\ \mathrm{d}x = \int_1^\infty x^{-1.1} \mathrm{d}x= \left[ -10 x^{-0.1} \right]_1^\infty = 10\text. \]Omdat de termen van de reeks positief zijn en de reeks begrensd is, concluderen we dat de reeks convergeert.

De integraal van een functie kan ook worden gebruikt om te laten zien dat reeksen divergeren naar oneindig. In de figuur hieronder kun je zien dat \[ \int_1^\infty f(x)\ \mathrm{d} x \leq \sum_{n=1}^\infty a_n\text. \] De oppervlakte van de eerste rechthoek is namelijk \(a_1\), de oppervlakte van de tweede rechthoek is \(a_2\), etc.

De volgende stelling veralgemeniseert deze aanpak.

Met deze stelling kunnen we nu bepalen voor welke \(p\) de reeks \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\) convergeert.