Reeksen: Convergentiecriteria
Alternerende reeksen
We hebben gezien dat de harmonische reeks \(\sum\frac 1n\) divergeert naar oneindig. In het algemeen is het dus niet zo dat \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\) impliceert dat \(\sum a_n\) convergeert. In het speciale geval van zogeheten alternerende reeksen is dit wel waar:
Als \((a_n)_{n=1}^\infty\) een dalende rij van positieve getallen is met \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\) dan convergeert \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\).
De reeks \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\) convergeert volgens de stelling.
De alternerende reeks \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) hoeft niet te convergeren als \((a_n)_{n=1}^\infty\) niet dalend of niet positief is.
Voor \[ a_n = \begin{cases} \frac{1}{n} &\text{als }n\text{ even is} \\ \frac{1}{n^2}&\text{als }n\text{ oneven is} \end{cases}\] geldt \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n = \infty\).
