Reeksen: Introductie
Lim inf en lim sup
Voor een rij \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) kunnen we twee nieuwe rijen construeren op de volgende wijze: \[\begin{aligned} s_N &= \inf\{ a_n : n > N \} \\ t_N &= \sup\{ a_n : n > N \}\text.\end{aligned}\] Dit betekent dat \[\begin{aligned} s_1 &= \inf\{a_2, a_3,a_4, \dots\} \\ s_2 &= \inf\{a_3, a_4, a_5,\dots\} \\ s_3 &= \inf\{a_4, a_5, a_6, \dots\}\text,\end{aligned}\]etc. De verzameling waarvan we het infimum nemen wordt kleiner als \(N\) groter wordt, want we halen in elke stap het eerste element weg. Het infimum wordt daarom groter als \(N\) toeneemt. De rij \((s_N)_{N\in\mathbb N}\) is dus een stijgende rij en hieruit volgt dat de limiet \(\lim_{N\to\infty} s_N\) bestaat. (De limiet kan waarde \(\infty\) hebben). Analoog is \((t_N)_{N\in\mathbb N}\) een dalende rij en bestaat \(\lim_{N\to\infty} t_N\) ook. Deze twee limieten worden het lim inf en de lim sup van een rij genoemd.
Zij \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) een rij reële getallen. We definiëren \[ \limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} \sup \{a_n : n > N\} \] en \[ \liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} \inf \{a_n : n > N\} \]
Bekijk de rij gegeven door \(a_n=(-1)^n\), oftewel \[ -1,1,-1,1,-1,1,-1,1,\dots \] De verzameling \(\{a_n : n > N\}\) is altijd gelijk aan \(\{-1,1\}\), dus \(\liminf_{n\to\infty} a_n = -1\) en \(\limsup_{n\to\infty} a_n = 1\).
Voor \(b_n = \tfrac{1}{n}\) hebben we \(\{b_n : n > N\} = \{\tfrac{1}{N+1}, \tfrac{1}{N+2},\tfrac{1}{N+3},\dots\}\), dus \(\sup\{b_n : n > N\} = \tfrac{1}{N+1}\) en \(\inf \{b_n : n > N\} = 0\). De limieten zijn dus beide \(0\).
In het laatste voorbeeld hadden we \(\lim b_n = \liminf b_n = \limsup b_n\). De volgende stelling zegt dat dit altijd zo is als \(\lim b_n\) bestaat.
De limiet \(\lim_{n\to\infty} a_n\) bestaat dan en slechts dan als \(\liminf_{n\to\infty} a_n = \limsup_{n\to\infty}a_n\).
Als dit het geval is, dan hebben deze drie limieten dezelfde waarde.
Voor alle positieve rijen \((a_n)_{n=1}^\infty\) gelden de volgende ongelijkheden:
\[ \liminf_{n\to\infty}\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \liminf_{n\to\infty}\ \sqrt[n]{a_n} \leq \limsup_{n\to\infty}\ \sqrt[n]{a_n} \leq \limsup_{n\to\infty}\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
