Lim inf en lim sup

Reeksen: Introductie

Lim inf en lim sup

Voor een rij $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ kunnen we twee nieuwe rijen construeren op de volgende wijze:

$\begin{aligned} s_N &= \inf\{ a_n : n > N \} \\ t_N &= \sup\{ a_n : n > N \}\text.\end{aligned}$ Dit betekent dat

$\begin{aligned} s_1 &= \inf\{a_2, a_3,a_4, \dots\} \\ s_2 &= \inf\{a_3, a_4, a_5,\dots\} \\ s_3 &= \inf\{a_4, a_5, a_6, \dots\}\text,\end{aligned}$ etc. De verzameling waarvan we het infimum nemen wordt kleiner als $N$ groter wordt, want we halen in elke stap het eerste element weg. Het infimum wordt daarom groter als $N$ toeneemt. De rij $(s_N)_{N\in\mathbb N}$ is dus een stijgende rij en hieruit volgt dat de limiet $\lim_{N\to\infty} s_N$ bestaat. (De limiet kan waarde $\infty$ hebben). Analoog is $(t_N)_{N\in\mathbb N}$ een dalende rij en bestaat $\lim_{N\to\infty} t_N$ ook. Deze twee limieten worden het lim inf en de lim sup van een rij genoemd.

Zij $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ een rij reële getallen. We definiëren

$\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} \sup \{a_n : n > N\}$ en

$\liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} \inf \{a_n : n > N\}$

Bekijk de rij gegeven door $a_n=(-1)^n$ , oftewel

$-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,\dots$ De verzameling $\{a_n : n > N\}$ is altijd gelijk aan $\{-1,1\}$ , dus $\liminf_{n\to\infty} a_n = -1$ en $\limsup_{n\to\infty} a_n = 1$ .

Voor $b_n = \tfrac{1}{n}$ hebben we $\{b_n : n > N\} = \{\tfrac{1}{N+1}, \tfrac{1}{N+2},\tfrac{1}{N+3},\dots\}$ , dus $\sup\{b_n : n > N\} = \tfrac{1}{N+1}$ en $\inf \{b_n : n > N\} = 0$ . De limieten zijn dus beide $0$ .

In het laatste voorbeeld hadden we $\lim b_n = \liminf b_n = \limsup b_n$ . De volgende stelling zegt dat dit altijd zo is als $\lim b_n$ bestaat.

De limiet $\lim_{n\to\infty} a_n$ bestaat dan en slechts dan als $\liminf_{n\to\infty} a_n = \limsup_{n\to\infty}a_n$ .
Als dit het geval is, dan hebben deze drie limieten dezelfde waarde.

Voor alle positieve rijen $(a_n)_{n=1}^\infty$ gelden de volgende ongelijkheden:

$\liminf_{n\to\infty}\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \liminf_{n\to\infty}\ \sqrt[n]{a_n} \leq \limsup_{n\to\infty}\ \sqrt[n]{a_n} \leq \limsup_{n\to\infty}\ \frac{a_{n+1}}{a_n}$