Reeksen: Slot
Overzicht standaardreeksen en convergentiecriteria
We eindigen met een overzicht van alle standaardreeksen en convergentiecriteria uit dit hoofdstuk.
We hebben de volgende standaardreeksen behandeld:
Meetkundige reeksVoor \(|r|<1\) geldt \[ \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}\text. \]
Hyperharmonische reeksEr geldt \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^p} <\infty \iff p > 1\text. \]
Een speciaal geval is \(p = 1\)
Harmonische reeksEr geldt \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n} = \infty \text. \]
We hebben verder de volgende convergentiecriteria bewezen:
Het vergelijkingscriterium (1)Zij \(\textstyle\sum a_n\) en \(\textstyle\sum b_n\) reeksen waarbij \(a_n\geq 0\) voor alle \(n\). Als \(\textstyle\sum a_n\) convergeert en \(|b_n|\leq a_n\) voor alle \(n\) dan convergeert \(\textstyle\sum b_n\) ook.
Het vergelijkingscriterium (2)Zij \(\textstyle\sum a_n\) en \(\textstyle\sum b_n\) reeksen. Als \(\textstyle\sum a_n = \infty\) en \(b_n\geq a_n\) voor alle \(n\) dan geldt \(\textstyle\sum b_n = \infty\).
Het wortelcriteriumZij \(\textstyle\sum a_n\) een reeks en definieer \(\alpha = \limsup \sqrt[n]{|a_n|}\).
(1) Als \(\alpha < 1\) dan convergeert de reeks.
(2) Als \(\alpha > 1\) dan divergeert de reeks.
QuotiëntcriteriumZij \(\textstyle\sum a_n\) een reeks.
(1) Als \(\textstyle\limsup \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1\) dan convergeert de reeks.
(2) Als \(\textstyle\liminf \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1\) dan divergeert de reeks.
Het integraalkenmerkZij \((a_n)_{n=1}^\infty\) een reeks zodat \(a_n = f(n)\) voor een dalende positieve functie \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\). Dan geldt \[ \sum_{n=1}^\infty a_n < \infty \iff \int_1^\infty f(x)\ \mathrm{d}x < \infty\text. \]
