Overzicht standaardreeksen en convergentiecriteria

Reeksen: Slot

Overzicht standaardreeksen en convergentiecriteria

We eindigen met een overzicht van alle standaardreeksen en convergentiecriteria uit dit hoofdstuk.

We hebben de volgende standaardreeksen behandeld:

Voor $|r|<1$ geldt

$\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}\text.$

Hyperharmonische reeksEr geldt

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^p} <\infty \iff p > 1\text.$

Een speciaal geval is $p = 1$

Harmonische reeksEr geldt

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n} = \infty \text.$

We hebben verder de volgende convergentiecriteria bewezen:

Zij $\textstyle\sum a_n$ en $\textstyle\sum b_n$ reeksen waarbij $a_n\geq 0$ voor alle $n$ . Als $\textstyle\sum a_n$ convergeert en $|b_n|\leq a_n$ voor alle $n$ dan convergeert $\textstyle\sum b_n$ ook.

Zij $\textstyle\sum a_n$ en $\textstyle\sum b_n$ reeksen. Als $\textstyle\sum a_n = \infty$ en $b_n\geq a_n$ voor alle $n$ dan geldt $\textstyle\sum b_n = \infty$ .

Zij $\textstyle\sum a_n$ een reeks en definieer $\alpha = \limsup \sqrt[n]{|a_n|}$ .
(1) Als $\alpha < 1$ dan convergeert de reeks.
(2) Als $\alpha > 1$ dan divergeert de reeks.

Zij $\textstyle\sum a_n$ een reeks.
(1) Als $\textstyle\limsup \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ dan convergeert de reeks.
(2) Als $\textstyle\liminf \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1$ dan divergeert de reeks.

Zij $(a_n)_{n=1}^\infty$ een reeks zodat $a_n = f(n)$ voor een dalende positieve functie $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ . Dan geldt

$\sum_{n=1}^\infty a_n < \infty \iff \int_1^\infty f(x)\ \mathrm{d}x < \infty\text.$