Na de lockdown periode als gevolg van het COVID-19 virus, proberen we onder Churchill's mom van ‘Never waste a good crisis’ de theorie te koppelen aan de wiskundige modellering van de verspreiding van een ziekte tijdens een uitbraak. Omdat het onderwerp ook belastend kan zijn voor studenten, is het facultatief. Deze wiskundige modellering hoort niet tot de tentamenstof.

We beginnen met de beroemde $R_0$-waarde waarover je steeds in het nieuws hoort.

Eerst een paar notaties: laten we aannemen dat het aantal personen geïnfecteerd met COVID-19 op het tijdstip $t$ wordt aangeduid met $N(t)$. Aan het begin van een epidemie neemt het aantal geïnfecteerden vaak exponentieel toe omdat bijna iedereen vatbaar is. Dus het aantal geïnfecteerden wordt in die groeifase beschreven door de formule

$$N(t) = N_0 e^{r\cdot t} = N_0 g^t\text,$$ waarbij $N_0$ het aantal besmette personen op tijdstip $t=0$ is. De groeifactor $g$ is gerelateerd aan $R_0$, het basaal reproductiegetal of besmettingsgetal, maar het is niet hetzelfde (om precies te zijn: $R_0$ is het aantal andere personen dat een besmet persoon infecteert over de gehele loop van zijn of haar besmettelijke periode, terwijl $g$ het aantal personen is dat geïnfecteerd wordt door een besmet iemand per tijdseenheid). Voor de eenvoud zullen we nu aannemen dat de twee getallen hetzelfde zijn (dus we gaan er in wezen van uit dat een geïnfecteerd persoon altijd besmettelijk blijft). De groeisnelheidsconstante $r$ van de ziekteverspreiding duidt aan hoe snel het aantal besmette personen groeit in de loop van de tijd.

Het reproductiegetal $R_0$ kan als volgt worden gemodelleerd:

$$R_0 = p D \alpha S\text,$$ waarbij $D$ de tijdsduur is dat een geïnfecteerd persoon besmettelijk is, $\alpha$ het aantal mensen is dat per tijdseenheid een persoon ontmoet, $p$ de kans is dat tijdens deze bijeenkomst de andere persoon besmet wordt en $S$ is de fractie van de bevolking is die vatbaar is voor het virus. Natuurlijk zijn er veel veronderstellingen gemaakt hier (bijvoorbeeld dat iedereen hetzelfde is: hetzelfde aantal en type contacten heeft, iedereen even vatbaar is, eenvoudige exponentiële groei dynamiek, etc).