Uit de definitie van de functie $p_0(t)$ volgt

$$p_0(t+\Delta t)=p_0(t)\cdot (1-k\cdot \Delta t)$$ Immers: de kans dat het neuron niet vuurt in het interval $[0,t+\Delta t]$ is gelijk aan het product van de kans dat het neuron niet vuurt in het interval $[0,t]$ en de kans dat het neuron niet vuurt in het interval $[t,t+\Delta t]$.

Dus geldt:

$$\frac{p_0(t+\Delta t)-p_0(t)}{\Delta t} =-k\cdot p_0(t)$$ Wanneer je $\Delta t$ kleiner en kleiner kiest, dan kom je in het limietgeval $\Delta t\rightarrow 0$ tot de differentiaalvergelijking $$p_0'(t)=-k\cdot p_0(t)$$ Omdat op tijdstip $t=0$ het neuron nog niet heeft kunnen vuren, geldt $p_0(0)=1$.

De functie $p_0(t)$ is dus een oplossing van het beginwaardeprobleem

$$p_0'(t)=-k\cdot p_0(t),\quad p_0(0)=1$$ maar dit hoort bij een exponentieel verval proces en dus is de oplossing gelijk aan $$p_0(t)=e^{-k\cdot t}$$

Uit de definitie van de functie $p_n(t)$ volgt

$$p_n(t+\Delta t)=p_n(t)\cdot (1-k\cdot \Delta t)+p_{n-1}(t)\cdot k\cdot \Delta t$$ Immers: de kans dat het neuron $n$-maal vuurt in het interval $[0,t+\Delta t]$ is gelijk aan het product van de kans dat het neuron $n$-maal vuurt in het interval $[0,t]$ en niet in het interval $[t,t+\Delta t]$ plus de kans dat het neuron $n-1$ keer vuurt in het interval $[0,t]$ en eenmaal in het interval $[t,t+\Delta t]$.

Dus geldt:

$$\frac{p_n(t+\Delta t)-p_n(t)}{\Delta t} =-k\cdot p_n(t)+ k \cdot p_{n-1}(t)$$ Wanneer je $\Delta t$ kleiner en kleiner kiest, dan kom je in het limietgeval $\Delta t\rightarrow 0$ tot de differentiaalvergelijking $$p_n'(t)=-k\cdot p_n(t)+ k \cdot p_{n-1}(t)$$ Omdat op tijdstip $t=0$ het neuron nog niet heeft kunnen vuren, geldt $p_n(0)=0$.

De expliciete formule voor $p_n(t)$ gaat met volledige inductie. Maar handiger is om

$$q_n(t)=p_n(t)\cdot e^{k\cdot t}$$ te definiëren en na te gaan (doe dit zelf!) dat hiervoor geldt $$q_n'(t)=k\cdot q_{n-1}(t)\quad\text{met}\quad q_n(0)=0$$ en dan te bewijzen dat $$q_n(t)=\frac{(k\cdot t)^n}{n!}$$

Voor $n=1$ hebben we

$$q_1'(t)=k\cdot q_0(t)=k\quad\text{met}\quad q_1(0)=0$$ en dus $$q_1(t)=k\cdot t$$

Voor $n=2$ hebben we

$$q_2'(t)=k\cdot q_1(t)=k^2t\quad\text{met}\quad q_2(0)=0$$ en dus $$q_2(t)=\frac{(k\cdot t)^2}{2!}$$

Stel dat de bewering klopt voor $n$, dan geldt deze ook voor $n+1$. Immers

$$q_{n+1}'(t)=k\cdot q_n(t)=k\cdot \frac{(k\cdot t)^n}{n!} \quad\text{met}\quad q_{n+1}(0)=0$$ en dus $$q_{n+1}(t)=\frac{(k\cdot t)^{n+1}}{(n+1)\cdot n!}=\frac{k\cdot t)^{n+1}}{(n+1)!}$$