Stel dat de kans dat een neuron vuurt in een korte tijdspanne, zeg \(\Delta t\), constant is en gelijk aan \(k\cdot \Delta t\) en ook niet afhangt van het tijdstip \(t\) waarop dit speelt. Definieer de functie \(p_n(t)\) als \[p_n(t)=\text{kans op precies } n \text{ keer vuren in het interval }[0,t]\]
De functie \(p_0(t)\) is een oplossing van het beginwaardeprobleem \[p_0'(t)=-k\cdot p_0(t)\quad\text{met}\quad p_0(0)=1\] en de oplossing is gelijk aan \[p_0(t)=e^{-k\cdot t}\]
Uit de definitie van de functie \(p_0(t)\) volgt \[p_0(t+\Delta t)=p_0(t)\cdot (1-k\cdot \Delta t)\] Immers: de kans dat het neuron niet vuurt in het interval \([0,t+\Delta t]\) is gelijk aan het product van de kans dat het neuron niet vuurt in het interval \([0,t]\) en de kans dat het neuron niet vuurt in het interval \([t,t+\Delta t]\).
Dus geldt: \[\frac{p_0(t+\Delta t)-p_0(t)}{\Delta t} =-k\cdot p_0(t)\] Wanneer je \(\Delta t\) kleiner en kleiner kiest, dan kom je in het limietgeval \(\Delta t\rightarrow 0\) tot de differentiaalvergelijking \[p_0'(t)=-k\cdot p_0(t)\] Omdat op tijdstip \(t=0\) het neuron nog niet heeft kunnen vuren, geldt \(p_0(0)=1\).
De functie \(p_0(t)\) is dus een oplossing van het beginwaardeprobleem \[p_0'(t)=-k\cdot p_0(t),\quad p_0(0)=1\] maar dit hoort bij een exponentieel verval proces en dus is de oplossing gelijk aan \[p_0(t)=e^{-k\cdot t}\]
De functie \(p_n(t)\) voldoet voor \(n>0\) aan \[p_n'(t)=-k\cdot p_n(t)+k\cdot p_{n-1}(t) \quad\text{met}\quad p_n(0)=0\] en de oplossing is gelijk aan \[p_n(t)=\frac{(k\cdot t)^n}{n!}\cdot e^{-k\cdot t}\]
Uit de definitie van de functie \(p_n(t)\) volgt \[p_n(t+\Delta t)=p_n(t)\cdot (1-k\cdot \Delta t)+p_{n-1}(t)\cdot k\cdot \Delta t \] Immers: de kans dat het neuron \(n\)-maal vuurt in het interval \([0,t+\Delta t]\) is gelijk aan het product van de kans dat het neuron \(n\)-maal vuurt in het interval \([0,t]\) en niet in het interval \([t,t+\Delta t]\) plus de kans dat het neuron \(n-1\) keer vuurt in het interval \([0,t]\) en eenmaal in het interval \([t,t+\Delta t]\).
Dus geldt: \[\frac{p_n(t+\Delta t)-p_n(t)}{\Delta t} =-k\cdot p_n(t)+ k \cdot p_{n-1}(t)\] Wanneer je \(\Delta t\) kleiner en kleiner kiest, dan kom je in het limietgeval \(\Delta t\rightarrow 0\) tot de differentiaalvergelijking \[p_n'(t)=-k\cdot p_n(t)+ k \cdot p_{n-1}(t)\] Omdat op tijdstip \(t=0\) het neuron nog niet heeft kunnen vuren, geldt \(p_n(0)=0\).
De expliciete formule voor \(p_n(t)\) gaat met volledige inductie. Maar handiger is om \[q_n(t)=p_n(t)\cdot e^{k\cdot t}\] te definiëren en na te gaan (doe dit zelf!) dat hiervoor geldt \[q_n'(t)=k\cdot q_{n-1}(t)\quad\text{met}\quad q_n(0)=0\] en dan te bewijzen dat \[q_n(t)=\frac{(k\cdot t)^n}{n!}\]
Voor \(n=1\) hebben we \[q_1'(t)=k\cdot q_0(t)=k\quad\text{met}\quad q_1(0)=0\] en dus \[q_1(t)=k\cdot t\]
Voor \(n=2\) hebben we \[q_2'(t)=k\cdot q_1(t)=k^2t\quad\text{met}\quad q_2(0)=0\] en dus \[q_2(t)=\frac{(k\cdot t)^2}{2!}\]
Stel dat de bewering klopt voor \(n\), dan geldt deze ook voor \(n+1\). Immers \[q_{n+1}'(t)=k\cdot q_n(t)=k\cdot \frac{(k\cdot t)^n}{n!} \quad\text{met}\quad q_{n+1}(0)=0\] en dus \[q_{n+1}(t)=\frac{(k\cdot t)^{n+1}}{(n+1)\cdot n!}=\frac{k\cdot t)^{n+1}}{(n+1)!}\]
Poisson process voor het vuren van een neuron
