Onbegrensde groei: Lineaire en kwadratische groei
Lineaire groei
Eigenschappen van lineaire groei Bij lineaire groei van een grootheid \(y(t)\) op tijdstip \(t\):
- verandert deze grootheid per tijdseenheid met eenzelfde waarde;
- hoort een lineaire functie \(y(t)=a\cdot t+b\), waarin \(a\) de toename of afname per tijdseenheid is en \(b\) de beginwaarde van \(y\) op tijdstip \(t=0\);
- is de bijpassende \((y,t)\)-grafiek een rechte lijn.
De eerste twee eigenschappen van lineaire groei betekenen dat voor de functie \(y(t)\) geldt dat de afgeleide \(y'(t)\) constant is en gelijk aan \(a\) is. Deze constante is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de rechte lijn die de grafiek van \(y\) representeert.
Differentiaalvergelijking bij lineaire groei Bij lineaire groei van een grootheid \(y(t)\) geldt voor zekere constante \(a\): \[y'(t)=a\]
Taal van differentiaalvergelijkingen Deze vergelijking voor de functie \(y(t)\), waarin de afgeleide functie \(y'(t)\) een rol speelt, heet een differentiaalvergelijking. De onbekende in een differentiaalvergelijking is, in tegenstelling tot de traditionele vergelijking, niet een getal maar een functie. We zeggen dat \(y(t)=a\cdot t+b\), voor zekere constante \(b\), een oplossing van de differentiaalvergelijking \(y'(t)=a\) is omdat deze functie de in de differentiaalvergelijking beschreven eigenschap heeft, namelijk dat de afgeleide gelijk is aan de constante \(a\).
Bij wiskundige modellen van groei en andere veranderingsprocessen is de differentiaalvergelijking vaak juist het begin van het modelleerproces. Vaak wordt eerst op basis van meetgegevens een dynamisch model opgesteld, d.w.z. men maakt een formule waarbij de snelheid waarmee een grootheid verandert uitgedrukt wordt in die grootheid en/of de tijd. Bij lineaire groei veronderstel je bijvoorbeeld dat de eigenschap 'constante verandering per tijdseenheid' waar is. Zo'n dynamisch model is een voorbeeld van een differentiaalvergelijking van de eerste orde: dit is een verband tussen de afgeleide van een grootheid en de grootheid en/of de tijd. Vervolgens moet je dan nog alle oplossingen van de differentiaalvergelijking vinden. We noemen dit het oplossen van een differentiaalvergelijking. Dit is vergelijkbaar met het oplossen van een gewone vergelijking zoals bijvoorbeeld \(t^2=4\), met dit verschil dat je geen getallen opspoort die oplossingen van de vergelijking zijn (in het voorbeeld \(t=2\) en \(t=-2\)), maar functies zoekt die de gewenste eigenschap van de afgeleide zoals vastgelegd in de differentiaalvergelijking bezitten. Met andere woorden, je moet de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking vinden. Daarna specialiseer je de algemene oplossing voor de gegeven probleemsituatie. Dit betekent meestal dat je voor de parameters in de algemene oplossing geschikte waarden probeert te vinden zodanig dat de oplossing meetgegevens goed beschrijft.
De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking \(y'(t)=a\) is gelijk aan \(y(t)=a\cdot t + b\).
Voor de liefhebber van wiskunde geven we het bewijs van de bewering dat \(y(t)=a\cdot t+b\;\)de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking \(y'(t)=a\) is.
Bij dit bewijs gebruiken we de volgende hulpstelling: als \(f'(t)=0\) voor een zekere functie \(f(t)\), dan is \(f(t)\) een constante functie.
Stel nu dat \(y(t)\;\)een oplossing van de differentiaalvergelijking \(y'(t)=a\) is. We kunnen nu een nieuwe functie \(f(t)\) definiëren door \(f(t)=y(t)-a\cdot t\). De verschilregel voor differentiëren levert dan op: \(f'(t) = y'(t)-(a\cdot t)'= a - a = 0\). Uit de hulpstelling volgt dan dat de functie \(f(t)\) constant is, zeg met functiewaarde \(b\). Dus: \(y(t)-a\cdot t = b\), oftewel \(y(t)=a\cdot t + b\).
Dit is wat bewezen moest worden!
