Bij kwadratische groei van een grootheid \(y(t)\) op tijdstip \(t\):
- verandert de afgeleide van deze grootheid per tijdseenheid met eenzelfde waarde;
- hoort een kwadratische functie \(y(t)=a\cdot t^2+b\cdot t + c\), waarin \(2a\) de toename of afname van de afgeleide \(y'(t)\) per tijdseenheid is, \(b\) de waarde van de afgeleide op tijdstip \(t=0\) is en \(c\) de beginwaarde op tijdstip \(t=0\) is;
- is de bijpassende \((y,t)\)-grafiek een parabool;
- is de tweede afgeleide van de grootheid een constante.
De eerste twee eigenschappen van kwadratische groei betekenen dat voor de functie \(y(t)\) geldt dat de afgeleide \(y'(t)\) een lineaire functie is en gelijk aan \(2a\cdot t + b\) is. Deze uitdrukking is gelijk aan de formule voor de rechte lijn die de grafiek van \(y'\) representeert.
Bij kwadratische groei van een grootheid \(y(t)\) geldt: \(y''(t)=2a\), voor zekere constante \(a\). Dit is ook een differentiaalvergelijking want er komt een afgeleide in voor. In dit geval speelt de tweede afgeleide een rol; in wiskundig jargon heeft dit een differentiaalvergelijking van orde 2.
De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking \[y''(t)=2a\] is gelijk aan \[y(t)=a\cdot t^2 + b\cdot t + c\] met parameters \(a\), \(b\) en \(c\).
Voor de liefhebbers geven we het bewijs van de bewering dat \(y(t)=a\cdot t^2 + b\cdot t + c\) de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking \(y''(t)=2a\) is.
Bij dit bewijs gebruiken we de volgende hulpstelling: als \(f'(t)=b\) voor een zekere functie \(f(t)\), dan is \(f(t)=b\cdot t +c\), waarbij \(b\) en \(c\) constanten zijn. In het bijzonder geldt dat \(f(t)\) een constante functie is als \(f'(t)=0\).
Stel nu dat \(y(t)\) een oplossing van de differentiaalvergelijking \(y''(t)=2a\) is. We kunnen nu een nieuwe functie \(f(t)\) definiëren door \(f(t)=y(t)-a\cdot t^2\). De verschilregel voor differentiëren levert dan op: \(f'(t) = y'(t)-(a\cdot t^2)'= y'(t) - 2a\cdot t\). Nogmaals differentiëren geeft de vergelijking \(f''(t) = y''(t)-(2a\cdot t)'= a - a = 0\). De afgeleide van \(f'(t)\) is dus gelijk aan 0 en uit de hulpstelling volgt dan dat de functie \(f'(t)\) constant is, zeg \(f'(t)=b\). Maar nogmaals toepassen van de hulpstelling geeft dan: #f(t)=y(t)-a\cdot t^2 = b\cdot t+ c#, oftewel \(y(t)=a\cdot t^2 + b\cdot t +c\).
Dit is wat bewezen moest worden!
Kwadratische groei
