Onbegrensde groei: Exponentiële groei
Oplossen van exponentiële vergelijkingen
Bij modellen van exponentiële groei moeten we vaak ook exponentiële vergelijkingen oplossen. Hierbij komen logaritmische functies van pas, zowel de natuurlijke logaritme als logartimen met een ander grondtal (meestal grondtal 10). Het volgende voorbeeld van microbiële groei maakt dit duidelijk.
Op tijdstip \(t=0\) bevat een bacteriënkweek 100 bacteriën en het aantal bacteriën neemt elk uur toe met een factor \(g=3.8\). Het aantal \(A\) op tijd \(t\) wordt dan gemodelleerd met de exponentiële functie \[A(t)=100\cdot 3.8^t\] Bepaal wanneer er volgens dit groeimodel 10000 bacteriën in de kweek zitten.
Om te bepalen wanneer er volgens dit groeimodel 10000 bacteriën in de kweek zitten, moet je de vergelijking \(A(t)=10000\) oplossen: \[100\cdot 3.8^t=10000\] Dit kan in een paar stappen.
Stap 1. Verwijder het product aan de linkerkant door deling: \[\begin{aligned}100\cdot 3.8^t=10000\;&\stackrel{\blue{\mathrm{\phantom{xx}delen\phantom{xx}}}}{\implies} 3.8^t = \frac{10000}{100}\\ &\stackrel{\blue{\mathrm{uitwerken}}}{\implies} 3.8^t=100\end{aligned}\] Je zou nu meteen de oplossing \[t=\log_{3.8}(100)\] kunnen opschrijven, maar daar heb je niet zo veel aan omdat de logaritme met grondtal 3.8 niet op je rekenmachine zit. De volgende twee stappen helpen je wel verder.
Stap 2. Logaritme aan weerszijden toepassen en verder vereenvoudigen. Omdat aan de rechterkant een macht van 10 staat is de logaritme met grondtal 10 in dit geval een handige keuze. \[\begin{aligned}3.8^t=100\;&\stackrel{\blue{\phantom{xx}\log_{10}\phantom{xx}}}{\implies}\;\;\, \log_{10}(3.8^t) = \log_{10}(100) \\ &\stackrel{\blue{\mathrm{uitwerken}}}{\implies} t \cdot \log_{10}(3.8) =2\end{aligned}\]
Stap 3. Nu hoef je alleen nog maar de eenvoudige lineaire vergelijking op te lossen. \[t \cdot \log_{10}(3.8) =2\stackrel{\blue{\mathrm{delen}}}{\implies} t=\frac{2}{\log_{10}(3.8)}\approx 3.450\;({}\approx3\;\mathrm{uur}\;27\;\mathrm{min})\]
Stap 1. Verwijder het product aan de linkerkant door deling: \[\begin{aligned}100\cdot 3.8^t=10000\;&\stackrel{\blue{\mathrm{\phantom{xx}delen\phantom{xx}}}}{\implies} 3.8^t = \frac{10000}{100}\\ &\stackrel{\blue{\mathrm{uitwerken}}}{\implies} 3.8^t=100\end{aligned}\] Je zou nu meteen de oplossing \[t=\log_{3.8}(100)\] kunnen opschrijven, maar daar heb je niet zo veel aan omdat de logaritme met grondtal 3.8 niet op je rekenmachine zit. De volgende twee stappen helpen je wel verder.
Stap 2. Logaritme aan weerszijden toepassen en verder vereenvoudigen. Omdat aan de rechterkant een macht van 10 staat is de logaritme met grondtal 10 in dit geval een handige keuze. \[\begin{aligned}3.8^t=100\;&\stackrel{\blue{\phantom{xx}\log_{10}\phantom{xx}}}{\implies}\;\;\, \log_{10}(3.8^t) = \log_{10}(100) \\ &\stackrel{\blue{\mathrm{uitwerken}}}{\implies} t \cdot \log_{10}(3.8) =2\end{aligned}\]
Stap 3. Nu hoef je alleen nog maar de eenvoudige lineaire vergelijking op te lossen. \[t \cdot \log_{10}(3.8) =2\stackrel{\blue{\mathrm{delen}}}{\implies} t=\frac{2}{\log_{10}(3.8)}\approx 3.450\;({}\approx3\;\mathrm{uur}\;27\;\mathrm{min})\]
In bovenstaand voorbeeld hebben we de logaritme met grondtal 10 gebruikt om een exponentiële vergelijking op te lossen, omdat een macht van 10 voorkwam in de formule en dit het rekenwerk versimpelde. Maar evengoed hadden we de natuurlijke logaritme kunnen gebruiken. Het volgende voorbeeld laat zien hoe.
Een patiënt krijgt een intraveneuze bolusinjectie met \(500\;\mathrm{mg}\) antibioticum toegediend. Dit medicijn verspreid zich razendsnel in het lichaam. Stel dat op tijdstip \(t=0\), zeer kort na het moment van toediening, de plasmaconcentratie van het antibioticum gelijk is aan \(40.6\;\mathrm{mg/L}\). Hierna wordt het antibioticum geëlimineerd uit het lichaam via een proces van exponentieel verval. Stel dat de eliminatiesnelheidsconstante per uur gelijk is aan \(0.51\). Dit geeft een groeifactor per uur van \(g=e^{-0.51}\approx 0.60\). De plasmaconcentratie \(C\) (in mg/L) op tijd \(t\) (in uren) is volgens dit model \[C(t)=40.6\cdot 0.60^t\] Bepaal wanneer volgens dit model de plasmaconcentratie gedaald is naar \(5\;\mathrm{mg/L}\).
Om te bepalen wanneer volgens dit exponentieel model de plasmaconcentratie gedaald is naar \(5\;\mathrm{mg/L}\), moet je de vergelijking \(C(t)=5\) oplossen: \[40.6\cdot 0.60^t=5\] Dit kan in een paar stappen en voor de variatie doen we het wat anders dan in het eerste voorbeeld..
Stap 1. De natuurlijke logaritme aan weerszijden toepassen en verder vereenvoudigen.
\begin{aligned} 40.6\cdot 0.60^t=5\;&\stackrel{\blue{\ln}}{\implies} \phantom{x}\ln(40.6\cdot 0.60^t) = \ln(5)\\ \\ &\stackrel{\blue{\mathrm{uitwerken}}}{\implies} \ln(40.6)+t \cdot \ln(0.60) =\ln(5)
\end{aligned} Deze stap laat zien dat je, door toepassing van een logaritme, een exponentiële vergelijking kunt omwerken tot een lineaire vergelijking.
Stap 2. Nu hoef je alleen nog maar deze lineaire vergelijking op te lossen. Om dit proces te doorgronden laten we de logaritmen even intact.
\[\begin{aligned} \ln(40.6)+t \cdot \ln(0.60) =\ln(5)\;&\stackrel{\blue{-\ln(40.6)}}{\implies} t\cdot \ln(0.60) =\ln(5)-\ln(40.6)\\ \\ &\stackrel{\blue{\div\ln(0.60)}}{\implies} t=\frac{\ln(5)-\ln(40.6)}{\ln(0.60)}\\ &\phantom{\stackrel{\blue{\div\ln(0.60)}}{\implies} t} \,\approx 4.100\;{}(\approx 4\;\mathrm{uur}\;6\;\mathrm{min})
\end{aligned}\] Het uitstellen van numerieke berekeningen voorkomt afrondingsfouten in tussenresultaten, die uiteindelijk verschil kunnen maken in het eindantwoord. Ook bereidt het de weg voor naar een volledig algebraïsche aanpak van een generiek probleem met parameters.
Stap 1. De natuurlijke logaritme aan weerszijden toepassen en verder vereenvoudigen.
\begin{aligned} 40.6\cdot 0.60^t=5\;&\stackrel{\blue{\ln}}{\implies} \phantom{x}\ln(40.6\cdot 0.60^t) = \ln(5)\\ \\ &\stackrel{\blue{\mathrm{uitwerken}}}{\implies} \ln(40.6)+t \cdot \ln(0.60) =\ln(5)
\end{aligned} Deze stap laat zien dat je, door toepassing van een logaritme, een exponentiële vergelijking kunt omwerken tot een lineaire vergelijking.
Stap 2. Nu hoef je alleen nog maar deze lineaire vergelijking op te lossen. Om dit proces te doorgronden laten we de logaritmen even intact.
\[\begin{aligned} \ln(40.6)+t \cdot \ln(0.60) =\ln(5)\;&\stackrel{\blue{-\ln(40.6)}}{\implies} t\cdot \ln(0.60) =\ln(5)-\ln(40.6)\\ \\ &\stackrel{\blue{\div\ln(0.60)}}{\implies} t=\frac{\ln(5)-\ln(40.6)}{\ln(0.60)}\\ &\phantom{\stackrel{\blue{\div\ln(0.60)}}{\implies} t} \,\approx 4.100\;{}(\approx 4\;\mathrm{uur}\;6\;\mathrm{min})
\end{aligned}\] Het uitstellen van numerieke berekeningen voorkomt afrondingsfouten in tussenresultaten, die uiteindelijk verschil kunnen maken in het eindantwoord. Ook bereidt het de weg voor naar een volledig algebraïsche aanpak van een generiek probleem met parameters.
Ontgrendel volledige toegang
