Onbegrensde groei: Exponentiële groei
Verdubbelingstijd en halveringstijd bij exponentiële groei
Soms is bij het werken met exponentiële groei niet de groeifactor of relatieve groeisnelheidsconstante gegeven, maar is alleen de verdubbelingstijd \(t_d\) of ingeval van exponentieel verval de halveringstijd \(t_{1/2}\) bekend. De verdubbelingstijd en halveringstijd kun je in verband brengen met de groeifactor \(g\) en de relatieve groeisnelheidsconstante \(r\).
Bij exponentieel verval geldt \(\displaystyle g^{t_{1/2}}=\frac{1}{2}\) en door aan beide zijden de natuurlijke logaritme te nemen en rekenregels voor logaritmen te hanteren krijg je dan: \[\ln(g^{t_{1/2}})=\ln(\frac{1}{2})\] oftewel \[t_{1/2} \cdot \ln(g) = -\ln(2)\] Na herschrijven: \[t_{1/2} = -\frac{\ln(2)}{\ln(g)}\] Omdat \(g=e^r\), geldt dus ook \(\ln(g)=r\) en \[t_{1/2} = -\frac{\ln(2)}{r}\approx -\frac{0.693}{r}\]
Bij exponentiële groei geldt \(g^{t_{d}}=2\) en door aan beide zijden de natuurlijke logaritme te nemen en rekenregels voor logaritmen te hanteren krijg je dan: \[t_{d} = \frac{\ln(2)}{\ln(g)}\] Omdat \(g=e^r\), geldt dus ook \[t_{d} = \frac{\ln(2)}{r}\approx \frac{0.693}{r}\]
