Stel \(Q(t_1)=Q_1\) en \(Q(t_2)=Q_2\) zijn de bekende waarden van een grootheid \(Q(t)\) op tijdstip \(t_1\) en een later tijdstip \(t_2\). Dan is de groeifactor op een tijdsinterval \(t_2-t_1\) gelijk aan: \[\frac{Q_2}{Q_1}\] Dus is de groeifactor \(g\) per tijdseenheid gelijk aan: \[\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)^{\frac{1}{t_2-t_1}}\] Vervolgens kun je een van de gegevens gebruiken om de constante \(c\) vast te leggen, bijvoorbeeld: \[Q_1=c\cdot \left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)^{\frac{t_1}{t_2-t_1}}\] Hieruit volgt: \[c=Q_1\cdot \left(\frac{Q_1}{Q_2}\right)^{\frac{t_1}{t_2-t_1}}\]

Stel dat je om één uur 's middags een kippenbout uit de koelkast haalt en op een bord legt om op kamertemperatuur te komen.
Veronderstel dat dit na 2 uur gebeurd is en dat hierna het aantal salmonellabacteriën op het stukje vlees exponentieel toeneemt.
Om zes uur 's avonds zijn er honderdduizend bacteriën en om negen uur 's avond is dit aantal toegenomen tot 1.6 miljoen.

Stel de formule op van het aantal bacteriën \(A(t)\), waarbij tijd in uren is met \(t=0\) om drie uur 's middags.
Rond de groeifactor af op vier decimalen.

Uitwerking

\(\displaystyle g_{\mathrm{3\,uur}}=\frac{1\,600\,000}{100\,000}=16\)
\(\displaystyle g_{\mathrm{uur}}=16^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{4}{3}}\approx 2.5198\)
Dit correspondeert overigens met een verdubbelingstjd van 3/4 uur = 45 minuten.

\(A(t)=c\cdot g^t\), \(g=2.51984\) en \(A(3)=100\,000\) geeft de vergelijking \(100000= c\cdot 2.51984^3\).
Dus: \(c=6250\).
We hebben als formule gevonden: \[A(t)=6250\cdot 2.5198^t = 6250\cdot 2^{\frac{t}{0.75}}\]
Ter controle: uit de gegevens volgt dat per drie uur het aantal bacteriën verzestienvoudigt. Drie uur voor klokslag zes uur, toevalligerwijs het tijdstip \(t=0\), is het aantal bacteriën dus 16 keer minder dan het gegeven aantal om zes uur. Dus: \(A(0)= 100000/16=6250\)