Onbegrensde groei: Exponentiële groei
Inleiding over microbiële groei
Bacteriën zijn eencellige, soms in kolonies levende micro-organismen. Je ziet ze met het blote oog niet, maar zijn alom aanwezig. Bacteriën bederven voedsel en maken ziek, maar ze zijn ook onontbeerlijk voor een goede spijsvertering, waterzuivering en het maken van medicijnen.
Een bacterie is een prokaryoot, d.w.z. is een cel zonder celkern. De meeste prokaryoten vermenigvuldigen zich door middel van binaire deling: een cel groeit tot ongeveer dubbele grootte en splitst dan in twee genetisch identiek dochtercellen. Het simpelste model voor bacteriegroei is dan ook een discreet model van binaire deling: na de splitsing van één cel in twee dochtercellen, splitsen de dochtercellen ook weer en ontstaan vier cellen. Een generatie later zijn al acht cellen ontstaan. Dit lijkt misschien niet zo'n snelle groei van het aantal bacteriën, maar schijn bedriegt zoals onderstaand voorbeeld illustreert.
Microbiële groei van Escherichia coli (E. coli) bacteriën gaat als volgt: elke twintig minuten verdubbelt het aantal bacteriën. Uitgaande van 1 bacterie op het starttijdstip \(t=0\) zijn er na 20 minuten dus 2 bacteriën, na 40 minuten 4 bacteriën en na 60 minuten 8 bacteriën. Het aantal bacteriën wordt per uur dus 8 keer zo groot. Dit lijkt op het eerste gezicht misschien niet zo'n sterke groei, maar kijk in onderstaande tabel wat er gebeurt.
\[\begin{array}{|l|l|} \hline
\mathit{Tijd\;} (\mathit{uren}) & \mathit{Aantal\;bacteriën} \\ \hline
0 & 1 \\
1 & 8 \\
2 & 64 \\
3 & 512 \\
4 & 4\,096 \\
5 & 32\,768 \\
6 & 261\,144 \\
7 & 2\,097\,152 \\
8 & 16\,777\,216 \\ \hline \end{array}\]
Na 8 uur zijn door celdeling uit 1 bacterie bij exponentiële groei pakweg 17 miljoen bacteriën ontstaan. De berekening kun je voor elk tijdstip \(t\) in uren doen met de formule \(N(t)=8^t\). Onderstaande grafiek illustreert de enorme toename van het aantal bacteriën. We spreken van exponentiële groei.
