Differentiaalvergelijking van exponentiële groei

Onbegrensde groei: Exponentiële groei

Differentiaalvergelijking van exponentiële groei

Zoals al eerder is opgemerkt bij lineaire groei legt een differentiaalvergelijking alléén de oplossing niet helemaal vast: hiervoor zijn extra voorwaarden nodig. Wanneer deze voorwaarden allemaal betrekking hebben op de toestand op een zeker tijdstip $t$ (meestal neemt men $t=0$ ) dan spreekt men over een beginwaardeprobleem. Hebben alle extra voorwaarden betrekking op de rand van een gebied, dan spreekt men van een randwaardenprobleem. We geven een paar voorbeelden van de differentiaalvergelijking van exponentiële groei.

Los het volgende beginwaardeprobleem op:

$y'(t)=y(t),\quad y(0)=-7$

Het betreft de differentiaalvergelijking van exponentiële groei met relatieve groeisnelheidsconstante $1$ .
De algemene oplossing is dus gelijk aan

$y(t)=c\cdot e^{t}$ Invullen van voorwaarde $y(0)=-7$ geeft de vergelijking

$c\cdot e^{0} = -7$ Dit is te vereenvoudigen tot:

$c=-7$ De oplossing van het beginwaardeprobleem is

$y(t)=-7\,e^{t}$

Nieuw voorbeeld