Keller model voor sprinten

Begrensde exponentiële groei: Toepassingen

Keller model voor sprinten

In de biomechanica worden twee soorten van wiskundige modellen voor rennen gehanteerd: kinematische modellen gebaseerd op de tweede wet van Newton en modellen gebaseerd op energiebalans. We bespreken het kinematische model van Keller uit 1973 om een sprint over 100 m te beschrijven, maar kan ook voor iets langere afstanden gebruikt worden bij elitesporters.

Keller model voor sprinten Net als alle kinematische modellen is het Keller model gebaseerd op het verband

$a(t) = F_{\mathrm{voortstuwing}}(t)-F_{\mathrm{weerstand}}(t)$ waarbij $a(t)$ de versnelling van de sprinter op tijdstip $t$ is, $F_{\mathrm{voortstuwing}}$ de horizontale component van de stuwkracht per lichaamsgewicht op tijdstip $t$ is, en $F_{\mathrm{weerstand}}(t)$ de kracht per lichaamsgewicht is die de sprinter moet overwinnen op tijdstip $t$ om in beweging te zijn. Keller veronderstelt in zijn model dat de stuwkracht constant ( $F$ is en dat de weerstand voornamelijk bepaald wordt door interne weerstanden in het lichaam die overwonnen moeten worden om de ledematen te bewegen (leidend tot warmteproductie) en dat deze weerstandskracht toeneemt naarmate het gewicht van de hardloper groter is en de loopsnelheid toeneemt. Het heeft dus, in tegenstelling tot wat veel gedacht wordt, niets te maken met luchtweerstand; dit is een aparte term die je in een kinematisch model kunt inbouwen. Keller veronderstelt een lineair verband tussen $F_{\mathrm{weerstand}}(t)=v(t)/\tau$ . Deze redenering leidt tot het volgende beginwaardenprobleem

$v'(t)=F-\frac{v(t)}{\tau},\quad v(0)=0$ Deze vergelijking van geremde exponentiële groei heeft de volgende oplossing

$v(t)=F\cdot \tau\cdot\left(1-e^{\frac{t}{\tau}}\right)$

We passen het Keller model toe op de 100 m sprint van Carl Lewis in de finale van de wereldkampioenschappen atletiek van 1987 in Rome. Op basis van zijn splittijden per 10 meter kun je via regressie de best bijpassende parameterwaarden bepalen. Het resultaat is $F=8.88\;\mathrm{N/kg}$ en $\tau=1.318\;\mathrm{s}$ .

Heck & Ellermeijer (2009) hebben dit model ook toegepast om korte sprintjes van 16-jarige scholieren over afstand van 30 m te modelleren: zij hebben parameterwaarden $F=5.988\;\mathrm{N/kg}$ en $\tau=1.269\;\mathrm{s}$ . Het is met name de stuwkracht die bij een scholier minder groot is dan bij een elitesprinter en waarschijnlijk ook het vermogen om deze stuwkracht voor langere tijd aan te kunnen houden.

Heck, A. & Ellermeijer, T. (2009). Giving students the run of sprinting models. American Journal of Physics 77(11), 1028-1038.