Een vereenvoudigd model voor een membraanpotentiaal

Begrensde exponentiële groei: Toepassingen

Een vereenvoudigd model voor een membraanpotentiaal

Bij toepassingen van onbegrensde groei hebben we de ontlading van een condensator besproken en de link gelegd met de membraanpotentiaal via de differentiaalvergelijking \[g_k\cdot V+C_m\cdot \frac{\dd V}{\dd t} = 0\] waarbij \(V\) de membraanpotentiaal (t.o.v. de rustmembraanpotentiaal) is, \(C_m\) de capaciteit van de membraan, en \(g_k\) de geleidbaarheid van een ionkanaal waardoor lekstroom gaat. We gaan twee uitbreidingen bekijken:

Het verloop van de membraanpotentiaal bij een constante stimulus
Een model voor de geleidbaarheid van een ionkanaal

1. Het verloop van de membraanpotentiaal bij een constante stimulus

Stel dat de membraanpotentiaal gelijk is aan de rustmembraanpotentiaal (\(V=0\)) en dat op zeker moment, het tijdstip \(t=0\) gesteld, een stimulus opgelegd wordt die een constante membraanstroomsterkte \(I\) tot gevolg heeft. Dan hebben we te maken met het volgende beginwaardenprobleem \[g_k\cdot V+C_m\cdot \frac{\dd V}{\dd t} = I, \quad V(0)=0\] oftewel \[ \frac{\dd V}{\dd t}=\frac{I}{C_m}-\frac{g_k}{C_m}\cdot V, \quad V(0)=0\] Dit is een differentiaalvergelijking van begrensde exponentiële groei en de oplossing is \[V(t)= \frac{I}{g_k}\cdot \left(1-e^{-\frac{g}{C_m}\cdot t}\right)\]

2. Een model voor de geleidbaarheid van een ionkanaal

In een eenvoudige beschrijving van het gedrag van een ionkanaal onderscheiden we twee toestanden waarin een kanaal zich kan bevinden, namelijk de "gesloten" (G) en "open" (O) toestand, een en stellen we een zogenaamde Markov keten op: \[\text{G }\mathop \rightleftharpoons \limits_{{\beta}}^{{\alpha}} \text{ O}\] Door niet naar één enkel ionkaal te kijken, maar naar de fracties van de ionkanlalen oe open en gesloten zijn per oppervlakteeenheid krijgen we het volgende stelsel van differentiaalvergelijkingen \[\begin{aligned}\frac{\dd G}{\dd t}&=-\alpha\, G+\beta\, O\\ \\ \frac{\dd O}{\dd t}&=\alpha\,G-\beta\, O\end{aligned}\] met \[O+G=1\] We kunnen de twee differentiaalvergelijkingen ontkoppelen en krijgen zo voor de open kanalen: \[\frac{\dd O}{\dd t}=\alpha\,(1-O)-\beta\, O\] Dit kan herschreven worden als \[\frac{\dd O}{\dd t}=\alpha-(\alpha+\beta)\cdot O\] Dit is de differentiaalvergelijking van begrensde exponentiële groei.

In werkelijkheid is de wiskundige modellering van elektrische eigenschappen van celmembranen ingewikkelder. Hodgkin en Huxley hebben in het naar hen genoemde model voor de actiepotentiaal van een zenuwcel voor de geleidbaarheid van het Kalium-kanaal gepostuleerd dat \[g_{\mathrm{K}}=G_{\mathrm{K}}\cdot n^4\] waarbij \(n(t)\) een functie is die voldoet aan de volgende differentiaalvergelijking \[\frac{\dd n}{\dd t}=\alpha_n\cdot(1-n)-\beta_n\cdot n\] met \(a_n\) en \(\beta_n\) constanten zijn die nog wel van de membraanpotentiaal afhangen.

De differentiaalvergelijking voor \(n\) is te herschrijven als \[\frac{\dd n}{\dd t}=\alpha_n-(\alpha_n+\beta_n)\cdot n\] zodat je gemakkelijk inziet dat dit een differentiaalvergelijking van geremde groei is met als algemene oplossing \[n(t)=\frac{\alpha_n}{\alpha_n+\beta_n}+c\cdot e^{-(\alpha_n+\beta_n)\cdot t}\] voor zekere constante \(c\). Als de beginwaarde \(n(0)=n_0\) gegeven is, dan kan de oplossing herschreven worden als \[n(t)=\frac{\alpha_n}{\alpha_n+\beta_n}\cdot \left(1-e^{-(\alpha_n+\beta_n)\cdot t}\right)+n_0\cdot e^{-(\alpha_n+\beta_n)\cdot t}\]