Remming van een lineair groeimodel Het model van geremde exponentiële groei kan beschouwd worden als een aanpassing van het lineaire groeimodel om remming van de groei te bewerkstelligen. Stel namelijk dat een grootheid \(y\) voldoet aan de differentiaalvergelijking van lineaire groei, d.w.z. \(y'(t)=c\) voor zekere positieve constante \(c\). De oplossing is een lineaire functie in tijd \(t\) waarvan de grafiek een rechte lijn is met helling \(c\). Deze functie heeft geen maximum. Om een geleidelijke afvlakking van de grafiek te krijgen zou je een remfactor in de differentiaalvergelijking kunnen introduceren: \[\frac{\dd y}{\dd t}=c\cdot \mathit{remfactor}\] waarbij de remfactor steeds een getal tussen 0 en 1 is. Je kunt voor de remfactor natuurlijk een functie in tijd gebruiken, bijvoorbeeld \(\mathit{remfactor}=e^{-\lambda\cdot t}\) met positieve constante \(\lambda\), maar bij begrensde exponentiële groei is er voor gekozen om de volgende functie in \(y\) te gebruiken: \[\mathit{remfactor}=1-\frac{y}{a}\] voor zekere positieve constante \(a\). De remfactor daalt lineair van 1 naar 0, wanneer de grootheid \(y\) lineair stijgt van 0 naar \(a\). De differentiaalvergelijking voor de geremde groei van grootheid \(y\) is dan \[\frac{\dd y}{\dd t}=c\cdot\left(1-\frac{y}{a}\right)\] oftewel \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot(a-y)\] met groeisnelheidsconstante \(r=\frac{c}{a}\). Ziehier de differentiaalvergelijking van begrensde exponentiële groei.

Remming van een exponentieel groeimodel Op een soortgelijke manier kan het exponentiële groeimodel aangepast worden om remming van de groei te bewerkstelligen. Stel namelijk dat een grootheid \(y\) voldoet aan de differentiaalvergelijking van exponentiële groei, d.w.z. \(y'(t)=r\cdot y\) voor zekere positieve constante \(r\). De oplossing is een exponentiële functie. Om een geleidelijke afvlakking van de grafiek te krijgen zou je een remfactor in de differentiaalvergelijking kunnen introduceren: \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot \mathit{remfactor}\] waarbij de remfactor steeds een getal tussen 0 en 1 is. Als je kiest voor \[\mathit{remfactor}=e^{-\alpha\cdot t}\]met positieve constante \(\alpha\), dan krijg je het Gompertz model.

Wij gebruiken verder de volgende uitdrukking voor de remfactor: \[\mathit{remfactor}=1-\frac{y}{a}\] voor zekere positieve constante \(a\). De differentiaalvergelijking voor de geremde groei van grootheid \(y\) wordt dan \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right)\] oftewel \[\frac{\dd y}{\dd t}=\frac{r}{a}\cdot y\cdot (a-y)\] Dit heet de differentiaalvergelijking van logistische groei. Als de startwaarde \(y(0)\) tussen 0 en \(a\) ligt, dan krijg je een stijgende S-vormige grafiek van \(y\), d.w.z. een stijgende sigmoïde, bij positieve \(r\) en een dalende sigmoïde bij negatieve \(r\). Merk op dat de relatieve groeisnelheid \(y'(t)/y(t)\) bij exponentiële groei constant is, maar bij het logistische groeimodel een lineaire functie in \(y(t)\) is.

Het is verrassend hoe goed het logistische groeimodel een groot aantal geremde groeiprocessen beschrijft. Of je nu de groei bestudeert van de oppervlakte van een blad, het gewicht van een varken, de omvang van een tumor, de verspreiding van een infectieziekte, enzymkinetiek, de groeispurt in de puberteit van jongens en meisjes, of de groei van schimmels, vaak geeft het logistische groeimodel een redelijke wiskundige beschrijving van meetgegevens (of in ieder geval een eerste aanzet daartoe).