Gedrag van de logistische functie

Logistische groei: De logistische functie

Gedrag van de logistische functie

We bekijken de differentiaalvergelijking $\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right)$ met parameters $r>0$ en $a>0$ , en we vragen ons af wat er over het gedrag van de oplossingen met een beginwaarde $y(0)$ tussen $0$ en $a$ te zeggen valt.

De afgeleide $\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}$ is te beschouwen als een functie van $y$ met als grafiek een bergparabool met nulpunten $y=0$ en $y=a$ . Deze functie heeft een maximum halverwege tussen de nulpunten, d.w.z. in $y=\tfrac{1}{2}\!a$ . De maximale groeisnelheid is dan $\tfrac{1}{4}r\cdot a$ .

De grafiek van de stijgende logistische functie $y(t)=\frac{a}{1+c\cdot e^{-r\cdot t}}$ die de algemene oplossing is van de logistische differentiaalvergelijking $\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right)$ met $r>0,\;a>0$ kan in drie fasen onderverdeeld worden. Zie onderstaande figuur.

drie fasen in logistische groei

Als $y$ erg klein is, dan is $1-\frac{y}{a}$ ongeveer gelijk aan $1$ .
Dus in deze fase geldt $y'(t)\approx r\cdot y$ .

Met andere woorden, er is in de beginfase sprake van groei die erg lijkt op exponentiële groei met relatieve groeisnelheidsconstante $r$ .

In deze fase bereikt de groeisnelheid een maximale waarde op het moment dat $y=\tfrac{1}{2}a$ . Het tijdstip waarop dit gebeurt is ook uit te rekenen: je hoeft alleen maar de vergelijking $y(t)=\tfrac{1}{2}a$ in $t$ op te lossen. Dit kan als volgt: $\begin{aligned} y(t)=\tfrac{1}{2}a &\implies \frac{a}{1+c\cdot e^{-r\cdot t}}=\frac{a}{2}\\ \\ &\implies 1+c\cdot e^{-r\cdot t}=2\\ \\ &\implies c\cdot e^{-r\cdot t}=1\\ \\ &\implies c=e^{r\cdot t}\\ \\ &\implies \ln(c)= r\cdot t\\ \\ &\implies t=\frac{\ln(c)}{r}\end{aligned}$ De parameter $c$ kun je uitdrukken in de beginwaarde $y(0)=y_0$ : $c=\frac{a}{y_0}-1$ Ga zelf na dat de formule voor $c$ klopt. Dit is een eenvoudige uitdrukking in de relatieve beginwaarde $\displaystyle\frac{y_0}{a}$ .

Uit het voorafgaande volgt dus dat het tijdstip waarop de maximale groeisnelheid bereikt wordt enkel en alleen van de intrinsieke groeisnelheid en relatieve beginwaarde afhangt.

Als $y(t)$ heel dicht bij de waarde $a$ is, dan geldt dat de grootheid $r\cdot y\approx r\cdot a$ en dus $y'(t)\approx r\cdot \bigl(a-y(t)\bigr)=r\cdot a-r\cdot y.$

We hebben in de eindfase dus te maken met groei die sterk lijkt op begrensde exponentiële groei.