Hypothesen voor en modellering van microbiële groei Voor het wiskundige model van bacteriegroei veronderstellen we dat

1. het microbiële groeimodel "exponentieel" is, maar dan wel met een niet-constante groeisnelheidsfactor;
2. de microbiële groeisnelheidsfactor afhankelijk is van de concentratie van één groei-limiterend substraat (nutriënt) in het groeimedium;
3. de groeisnelheid zich instantaan aanpast bij veranderingen in substraatconcentratie;
4. de afnamesnelheid van het substraat evenredig is met de groeisnelheid van de bacteriën.

Stel dat \(N\) het aantal bacteriën is en \(S\) de substraatconcentratie. Bovenstaande veronderstellingen laten zich dan vertalen naar wiskundige formules:

1. \(N'=r(S)\cdot N\);
2. Een speciale keuze: \(r(S)=\mu\cdot S\) voor zekere constante \(\mu\);
3. Er hoeven geen vertragingen in het model ingebouwd te worden en we kunnen gewoon differentiaalvergelijkingen opstellen;
4. \(\gamma\cdot S'=-N'\) voor zekere constante \(\gamma\).

Uit \[\gamma\cdot S'=-N'\] volgt \[(\gamma\cdot S+N)'=0\] oftewel \[\gamma\cdot S+N=a\] voor zekere constante \(a\). Dus \[S=\frac{1}{\gamma}\cdot(a-N)\] Maar dan volgt uit de eerste twee relaties \[N'=\frac{\mu\cdot a}{\gamma}\cdot N\cdot \left(1-\frac{N}{a}\right)\] Dit is een logistische groeivergelijking.

Groeimodel van Jacques Monod De tweede veronderstelling in de afleiding van het logistische model voor microbiële groei was een speciale keuze. De Nobelprijswinnaar Jacques Monod heeft een meer realistische veronderstelling geïntroduceerd: \[r(S)=\frac{\mu\cdot S}{K_h+S}\] voor zekere constanten \(\mu\) en \(K_h\).

Als \(S\) groot is, dan \(r(S)\approx \mu\) en is er sprake van exponentiële groei

Als \(S\) klein is, dan \(r(S)\approx \frac{\mu}{K_h}\cdot S\) en is er sprake van logistische groei.