SI model

In het SI model veronderstellen we dat er geen geboorte, sterfte of migratie plaats vindt en dat elk individu hetzij vatbaar, hetzij geïnfecteerd is. Veronderstel dat elk individu per tijdsinterval van lengte $\triangle t$ gemiddeld $c\cdot \triangle t$ andere individuen ontmoet. Op het tijdinterval $(t,t+\triangle t)$ vinden dan $c\cdot I(t)\cdot \triangle t$ ontmoetingen plaats tussen twee individuen waarvan in ieder geval één individu geïnfecteerd is. De kans dat het andere individu juist niet besmet is, is gelijk aan het quotiënt van het aantal vatbare individuen en de totale populatiegrootte, dus $S(t)/N$. Omdat $S(t)=N-I(t)$ kunnen we deze kans ook schrijven als $\bigl(N-I(t)\bigr)/N$. Het aantal ontmoetingen tussen vatbare en geïnfecteerde individuen in het tijdinterval $(t,t+\triangle t)$ is dus bij benadering gelijk aan

$$\frac{c}{N}\cdot I(t)\cdot \bigl(N-I(t)\bigr)\cdot \triangle t$$ We nemen nu aan dat het aantal nieuwe besmettingen, $\triangle I(t)$ in het tijdsinterval $(t,t+\triangle t)$ evenredig is met dit aantal ontmoetingen: $$\triangle I(t) =\alpha\cdot \frac{c}{N}\cdot I(t)\cdot \bigl(N-I(t)\bigr)\cdot \triangle t$$ voor zekere constante $\alpha$. We herschrijven dit als $$\frac{\triangle I(t)}{\triangle t} =r\cdot I(t)\cdot \left(1-\frac{I(t)}{N}\right)$$ voor zekere constante $r$. Als we de limiet voor $\triangle t\rightarrow 0$ nemen, dan krijgen we de differentiaalvergelijking $$\frac{\dd I}{\dd t}=r\cdot I\cdot \left(1-\frac{I}{N}\right)$$ We hebben dus een logistische vergelijking met draagkracht $N$ voor het aantal geïnfecteerde individuen.

SIS model met constante coëfficiënt

In het SI model raakt ieder individu op den duur geïnfecteerd en blijft dat ook. In het SIS model wordt ingebouwd dat een geïnfecteerd individu herstelt van de ziekte, maar weer wel vatbaar wordt. We nemen aan dat de snelheid waarmee geïnfecteerde individuen genezen en weer vatbaar worden evenredig is met het aantal geïnfecteerde individuen. De reciproke waarde van deze evenredigheidfactor $\gamma$ is gelijk aan de gemiddelde tijdsduur dat een individu na besmetting geïnfecteerd blijft, d.w.z. $\gamma^{-1}={}$de gemiddelde duur van besmetting. Het aantal geïnfecteerde individuen $I(t)$ voldoet dan aan de differentiaalvergelijking

$$\begin{aligned}\frac{\dd I}{\dd t} &=r\cdot I\cdot \left(1-\frac{I}{N}\right)-\gamma\cdot I\\ \\ &= (r-\gamma)\cdot I\cdot \left(1-\frac{I}{N\cdot\bigl(1-\frac{\gamma}{r}\bigr)}\right)\end{aligned}$$ We hebben dus opnieuw een logistische vergelijking met draagkracht $N\cdot\bigl(1-\frac{\gamma}{r}\bigr)$ en intrinsieke groeisnelheidscoëfficient $r-\gamma$ voor het aantal geïnfecteerde individuen. Afhankelijke van de grootte van de parameter $\gamma$ bereikt het aantal geïnfecteerde individuen op den duur een maximale waarde of daalt dit aantal tot nul.